Chào em, cô đã nhận được bài của em rồi đây! Chúng ta cùng giải quyết bài đạo hàm này nhé. Đây là một dạng bài khá quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán 11.

Đề bài yêu cầu tính đạo hàm của hàm số sau:
\[y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x – \cos x}\]

Để tính đạo hàm của hàm số này, chúng ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của một thương hai hàm số.
Nếu có hàm số \(y = \frac{u}{v}\), thì đạo hàm của nó là \(y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\).

Trong trường hợp này, chúng ta xác định \(u\) và \(v\) như sau:

• Hàm số ở tử số là \(u = \sin x + \cos x\)
• Hàm số ở mẫu số là \(v = \sin x – \cos x\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi tính đạo hàm của từng phần \(u’\) và \(v’\):

Bước 1: Tính đạo hàm của \(u\)
Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hiệu, cùng với đạo hàm cơ bản của \(\sin x\) và \(\cos x\):
\((\sin x)’ = \cos x\)
\((\cos x)’ = -\sin x\)

Vậy, đạo hàm của \(u\) là:
\[u’ = (\sin x + \cos x)’ = (\sin x)’ + (\cos x)’ = \cos x – \sin x\]

Bước 2: Tính đạo hàm của \(v\)
Tương tự, đạo hàm của \(v\) là:
\[v’ = (\sin x – \cos x)’ = (\sin x)’ – (\cos x)’ = \cos x – (-\sin x) = \cos x + \sin x\]

Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của thương \(y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\)
Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(u, v, u’, v’\) vào công thức:
\[y’ = \frac{(\cos x – \sin x)(\sin x – \cos x) – (\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x)}{(\sin x – \cos x)^2}\]

Bước 4: Rút gọn biểu thức ở tử số
Chúng ta hãy quan sát tử số:
\[(\cos x – \sin x)(\sin x – \cos x) – (\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x)\]
Nhận thấy rằng:

• \((\cos x – \sin x)(\sin x – \cos x) = -(\sin x – \cos x)(\sin x – \cos x) = -(\sin x – \cos x)^2\)
• \((\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x) = (\sin x + \cos x)^2\)

Vậy, tử số trở thành:
\[- (\sin x – \cos x)^2 – (\sin x + \cos x)^2\]
Chúng ta khai triển các hằng đẳng thức đáng nhớ:

• \((\sin x – \cos x)^2 = \sin^2 x – 2\sin x \cos x + \cos^2 x\)
• \((\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x\)

Mà \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), nên:

• \((\sin x – \cos x)^2 = 1 – 2\sin x \cos x\)
• \((\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x\)

Thay các kết quả này vào biểu thức tử số:
\[- (1 – 2\sin x \cos x) – (1 + 2\sin x \cos x)\]
Phá ngoặc:
\[= -1 + 2\sin x \cos x – 1 – 2\sin x \cos x\]
\[= (-1 – 1) + (2\sin x \cos x – 2\sin x \cos x)\]
\[= -2 + 0\]
\[= -2\]

Bước 5: Viết lại kết quả cuối cùng
Vậy, đạo hàm của hàm số đã cho là:
\[y’ = \frac{-2}{(\sin x – \cos x)^2}\]

Em thấy không, bài này chỉ cần nắm vững công thức đạo hàm của thương và cẩn thận trong các bước tính toán, đặc biệt là khi rút gọn tử số. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để thành thạo hơn nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại cô nha! Chúc em học tốt!