Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán đạo hàm liên quan đến hàm lượng giác. Bài toán của chúng ta là tìm đạo hàm của hàm số y = cos²(3x).
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản và công thức đạo hàm của hàm hợp.

Bước 1: Nhận dạng cấu trúc hàm số
Hàm số y = cos²(3x) có thể được viết lại dưới dạng y = (cos(3x))².
Chúng ta nhận thấy đây là một hàm hợp. Cụ thể, nó là một hàm bậc hai (bình phương) của một hàm cosin, mà hàm cosin này lại là hàm của một biểu thức tuyến tính (3x).

Bước 2: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp
Chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Nếu ta có hàm số y = uⁿ, trong đó u là một hàm số của x, thì đạo hàm của y theo x sẽ là:
\( \frac{dy}{dx} = n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx} \)
Trong trường hợp của chúng ta:

• Đặt u = cos(3x).
• Khi đó, y = u².

Áp dụng công thức, ta có đạo hàm của y theo u là \( \frac{dy}{du} = 2u \).
Tiếp theo, chúng ta cần tìm đạo hàm của u theo x, tức là \( \frac{du}{dx} \).

Bước 3: Tìm đạo hàm của biểu thức bên trong
Bây giờ, chúng ta cần tìm đạo hàm của u = cos(3x).
Đây lại là một hàm hợp nữa. Đặt v = 3x. Khi đó, u = cos(v).
Chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp một lần nữa. Đạo hàm của cos(v) theo v là:
\( \frac{du}{dv} = -\sin(v) \)
Và đạo hàm của v = 3x theo x là:
\( \frac{dv}{dx} = 3 \)
Áp dụng quy tắc chuỗi (quy tắc đạo hàm hàm hợp): \( \frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \)
Do đó, \( \frac{du}{dx} = (-\sin(v)) \cdot 3 = -3\sin(v) \).
Thay v = 3x trở lại, ta được \( \frac{du}{dx} = -3\sin(3x) \).

Bước 4: Tổng hợp kết quả
Bây giờ, chúng ta quay trở lại với đạo hàm của y ban đầu. Chúng ta có:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
Thay các kết quả đã tìm được vào:
\( \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-3\sin(3x)) \)
Bây giờ, thay u = cos(3x) trở lại vào biểu thức:
\( \frac{dy}{dx} = 2(\cos(3x)) \cdot (-3\sin(3x)) \)
\( \frac{dy}{dx} = -6\cos(3x)\sin(3x) \)

Bước 5: Rút gọn (nếu có thể)
Chúng ta có thể rút gọn biểu thức này thêm nữa bằng cách sử dụng công thức lượng giác nhân đôi: \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \).
Nhìn vào biểu thức \( -6\cos(3x)\sin(3x) \), ta có thể viết lại như sau:
\( \frac{dy}{dx} = -3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) \)
Áp dụng công thức \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \) với \( \alpha = 3x \), ta có \( 2\sin(3x)\cos(3x) = \sin(2 \cdot 3x) = \sin(6x) \).
Vậy, đạo hàm cuối cùng là:
\( \frac{dy}{dx} = -3\sin(6x) \)

Kết luận:
Đạo hàm của hàm số y = cos²(3x) là \( y’ = -3\sin(6x) \).
Chúc các em ôn tập thật tốt!