Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về hình nón, liên quan đến việc làm túi đựng bỏng ngô. Bài toán này giúp chúng ta củng cố kiến thức về hình tròn, hình quạt tròn và hình nón, cũng như cách tính diện tích và thể tích của chúng. Chúng ta sẽ đi sâu vào từng phần của bài toán theo đúng sách giáo khoa nhé!

a) Tính diện tích giấy sử dụng để làm loại túi trên?

Để làm túi, bạn An đã cắt bỏ phần hình quạt tròn AOB với góc ở tâm là 135 độ. Phần giấy còn lại là một hình quạt lớn. Vậy diện tích giấy sử dụng chính là diện tích của hình quạt lớn này.

Đầu tiên, chúng ta cần tính diện tích của hình tròn ban đầu. Bán kính của hình tròn là \(R = 25\) cm.
Diện tích hình tròn được tính theo công thức:
\(S_{tròn} = \pi R^2\)
Thay số vào, ta có:
\(S_{tròn} = \pi \times (25)^2 = 625\pi\) (cm\(^2\))

Tiếp theo, chúng ta cần tính diện tích phần hình quạt tròn AOB bị cắt bỏ. Góc ở tâm của hình quạt này là 135 độ.
Diện tích hình quạt tròn được tính theo công thức:
\(S_{quạt} = \frac{\alpha}{360} \times \pi R^2\)
Trong đó \(\alpha\) là số đo góc ở tâm của hình quạt.
Thay số vào, ta có:
\(S_{quạt AOB} = \frac{135}{360} \times \pi \times (25)^2\)
Ta rút gọn phân số \(\frac{135}{360}\):
\(135 = 3 \times 45\)
\(360 = 8 \times 45\)
Vậy \(\frac{135}{360} = \frac{3}{8}\)
Do đó:
\(S_{quạt AOB} = \frac{3}{8} \times 625\pi = \frac{1875\pi}{8}\) (cm\(^2\))

Bây giờ, diện tích giấy sử dụng để làm túi chính là diện tích hình tròn ban đầu trừ đi diện tích hình quạt AOB bị cắt bỏ:
\(S_{giấy \, sử \, dụng} = S_{tròn} – S_{quạt AOB}\)
\(S_{giấy \, sử \, dụng} = 625\pi – \frac{1875\pi}{8}\)
Để trừ hai phân số, ta quy đồng mẫu số:
\(625\pi = \frac{625 \times 8}{8}\pi = \frac{5000\pi}{8}\)
Vậy:
\(S_{giấy \, sử \, dụng} = \frac{5000\pi}{8} – \frac{1875\pi}{8} = \frac{(5000 – 1875)\pi}{8} = \frac{3125\pi}{8}\) (cm\(^2\))

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể tính diện tích giấy sử dụng bằng cách tính trực tiếp diện tích của hình quạt lớn. Góc của hình quạt lớn là \(360^\circ – 135^\circ = 225^\circ\).
\(S_{quạt \, lớn} = \frac{225}{360} \times \pi R^2\)
Rút gọn phân số \(\frac{225}{360}\):
\(225 = 5 \times 45\)
\(360 = 8 \times 45\)
Vậy \(\frac{225}{360} = \frac{5}{8}\)
Do đó:
\(S_{quạt \, lớn} = \frac{5}{8} \times \pi \times (25)^2 = \frac{5}{8} \times 625\pi = \frac{3125\pi}{8}\) (cm\(^2\))

Cả hai cách đều cho kết quả giống nhau.
Vậy diện tích giấy sử dụng để làm loại túi trên là \(\frac{3125\pi}{8}\) cm\(^2\).

b) Biết chiếc túi có thể chứa nhiều hơn thể tích thực của nó tối đa là 15% để đảm bảo bỏng ngô không bị rơi ra ngoài. Tính thể tích bỏng ngô chứa được nhiều nhất trong túi: Biết độ dài cung nhỏ BC là 1cm

Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rằng khi dán phần hình quạt lớn sao cho A = C, ta thu được một hình nón.
Trong đó:
– Đường sinh của hình nón (kí hiệu là \(l\)) chính là bán kính của hình quạt ban đầu, vậy \(l = 25\) cm.
– Chu vi đáy của hình nón chính là độ dài của cung lớn mà ta đã dán lại.

Ở phần a, chúng ta đã tính diện tích giấy sử dụng là diện tích của hình quạt lớn. Tuy nhiên, để tính thể tích hình nón, chúng ta cần tìm bán kính đáy của hình nón đó.

Thông tin “độ dài cung nhỏ BC là 1cm” có vẻ như là một dữ kiện thừa hoặc không liên quan trực tiếp đến việc tính toán theo đề bài đã cho ban đầu. Dựa vào cách tạo hình túi từ hình quạt tròn, phần giấy dùng làm túi chính là hình quạt lớn. Khi dán lại, độ dài cung của hình quạt lớn sẽ trở thành chu vi đáy của hình nón. Chúng ta sẽ sử dụng thông tin này để tìm bán kính đáy.

Độ dài cung của hình quạt lớn được tính theo công thức:
\(C_{cung \, lớn} = \frac{\alpha_{lớn}}{360} \times 2\pi R\)
Trong đó \(\alpha_{lớn} = 225^\circ\) và \(R = 25\) cm.
\(C_{cung \, lớn} = \frac{225}{360} \times 2\pi \times 25 = \frac{5}{8} \times 50\pi = \frac{250\pi}{8} = \frac{125\pi}{4}\) cm.

Chu vi đáy của hình nón (\(C_{đáy}\)) bằng độ dài cung lớn này:
\(C_{đáy} = \frac{125\pi}{4}\) cm.

Chu vi đáy của hình nón cũng được tính theo công thức:
\(C_{đáy} = 2\pi r\)
Trong đó \(r\) là bán kính đáy của hình nón.
Ta có:
\(2\pi r = \frac{125\pi}{4}\)
Chia cả hai vế cho \(2\pi\):
\(r = \frac{125\pi}{4} \div 2\pi = \frac{125\pi}{4} \times \frac{1}{2\pi} = \frac{125}{8}\) cm.

Bây giờ chúng ta đã có bán kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\), ta có thể tính chiều cao \(h\) của hình nón bằng định lý Pitago trong tam giác vuông tạo bởi đường sinh, bán kính đáy và chiều cao:
\(l^2 = r^2 + h^2\)
\(h^2 = l^2 – r^2\)
\(h^2 = (25)^2 – \left(\frac{125}{8}\right)^2\)
\(h^2 = 625 – \frac{15625}{64}\)
Quy đồng mẫu số:
\(h^2 = \frac{625 \times 64}{64} – \frac{15625}{64} = \frac{40000 – 15625}{64} = \frac{24375}{64}\)
\(h = \sqrt{\frac{24375}{64}} = \frac{\sqrt{24375}}{8}\)
Ta có thể rút gọn \(\sqrt{24375}\). \(24375 = 25 \times 975 = 25 \times 25 \times 39 = 625 \times 39\).
Vậy \(h = \frac{\sqrt{625 \times 39}}{8} = \frac{25\sqrt{39}}{8}\) cm.

Thể tích thực của hình nón (\(V_{thực}\)) được tính theo công thức:
\(V_{thực} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
Thay số vào:
\(V_{thực} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{125}{8}\right)^2 \left(\frac{25\sqrt{39}}{8}\right)\)
\(V_{thực} = \frac{1}{3} \pi \frac{15625}{64} \frac{25\sqrt{39}}{8}\)
\(V_{thực} = \frac{\pi \times 15625 \times 25\sqrt{39}}{3 \times 64 \times 8}\)
\(V_{thực} = \frac{390625\pi\sqrt{39}}{1536}\) (cm\(^3\))

Chiếc túi có thể chứa nhiều hơn thể tích thực của nó tối đa là 15%.
Vậy thể tích bỏng ngô chứa được nhiều nhất trong túi (\(V_{max}\)) là:
\(V_{max} = V_{thực} + 15\% \times V_{thực} = V_{thực} \times (1 + 0.15) = 1.15 \times V_{thực}\)
\(V_{max} = 1.15 \times \frac{390625\pi\sqrt{39}}{1536}\)

Để tính toán giá trị này, chúng ta có thể tính gần đúng.
\(\sqrt{39} \approx 6.245\)
\(V_{thực} \approx \frac{390625 \times 3.14159 \times 6.245}{1536} \approx \frac{7691538.5}{1536} \approx 5007.5\) cm\(^3\).

\(V_{max} = 1.15 \times V_{thực} \approx 1.15 \times 5007.5 \approx 5758.6\) cm\(^3\).

Nếu đề bài yêu cầu giữ nguyên dạng biểu thức, ta sẽ có:
\(V_{max} = 1.15 \times \frac{390625\pi\sqrt{39}}{1536}\)
\(V_{max} = \frac{115}{100} \times \frac{390625\pi\sqrt{39}}{1536} = \frac{23}{20} \times \frac{390625\pi\sqrt{39}}{1536}\)
\(V_{max} = \frac{23 \times 390625\pi\sqrt{39}}{20 \times 1536} = \frac{8984375\pi\sqrt{39}}{30720}\)
Ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 5:
\(V_{max} = \frac{1796875\pi\sqrt{39}}{6144}\) (cm\(^3\))

Lưu ý: Dữ kiện “độ dài cung nhỏ BC là 1cm” có thể gây nhầm lẫn. Trong trường hợp đề bài chỉ cho bán kính hình tròn ban đầu và góc hình quạt bị cắt, thì độ dài cung lớn của hình quạt được sử dụng để tạo nón là thông tin then chốt để tìm bán kính đáy hình nón. Nếu “độ dài cung nhỏ BC là 1cm” ám chỉ đến một phần của hình tròn ban đầu, nó sẽ không ảnh hưởng đến quá trình tạo hình nón từ hình quạt lớn.

Chúc các em học tốt!