Chào các em học sinh thân mến, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất hay liên quan đến việc tối ưu hóa chi phí, sử dụng kiến thức về ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mà chúng ta đã học ở lớp 12 nhé.

Bài giải chi tiết:

Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật, chúng ta cần xác định các kích thước sao cho tổng chi phí làm kính là thấp nhất.

Bước 1: Gọi các kích thước của bể cá và thiết lập các công thức liên quan.

Gọi chiều dài và chiều rộng của đáy bể cá lần lượt là \(x\) (cm) và \(y\) (cm).

Theo đề bài, chiều cao của bể cá là \(h = 60\) cm.

Vì các kích thước là độ dài nên \(x > 0\) và \(y > 0\).

Thể tích của bể cá hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
\[ V = x \cdot y \cdot h \]
Theo đề bài, thể tích của bể cá là \(V = 96000\) cm³.

Thay các giá trị đã biết vào công thức thể tích, ta có:
\[ 96000 = x \cdot y \cdot 60 \]
Từ đó, ta tính được diện tích đáy của bể cá:
\[ S_{\text{đáy}} = x \cdot y = \frac{96000}{60} = 1600 \text{ cm}^2 \]

Bể cá có một mặt đáy và bốn mặt bên.

Diện tích mặt đáy là \(S_{\text{đáy}} = x \cdot y = 1600 \text{ cm}^2\).

Diện tích xung quanh (tổng diện tích bốn mặt bên) là:
\[ S_{\text{xung quanh}} = 2 \cdot (x \cdot h) + 2 \cdot (y \cdot h) = 2h \cdot (x + y) \]
Thay \(h = 60\) cm vào, ta được:
\[ S_{\text{xung quanh}} = 2 \cdot 60 \cdot (x + y) = 120 \cdot (x + y) \text{ cm}^2 \]

Bước 2: Chuyển đổi đơn vị diện tích và thiết lập hàm chi phí.

Giá thành kính được tính theo mét vuông (m²), trong khi các kích thước của chúng ta đang là centimet (cm). Do đó, chúng ta cần chuyển đổi đơn vị diện tích từ cm² sang m².

Ta có: \(1 \text{ m}^2 = (100 \text{ cm}) \cdot (100 \text{ cm}) = 10000 \text{ cm}^2\).

Chi phí để làm đáy bể:

Giá kính làm đáy là 100000 đồng/m².

\[ C_{\text{đáy}} = S_{\text{đáy}} \text{ (m}^2) \cdot 100000 \text{ đồng/m}^2 \]
\[ C_{\text{đáy}} = \frac{1600}{10000} \cdot 100000 = 0.16 \cdot 100000 = 16000 \text{ đồng} \]

Chi phí để làm các mặt bên của bể:

Giá kính làm mặt bên là 70000 đồng/m².

\[ C_{\text{mặt bên}} = S_{\text{xung quanh}} \text{ (m}^2) \cdot 70000 \text{ đồng/m}^2 \]
\[ C_{\text{mặt bên}} = \frac{120 \cdot (x + y)}{10000} \cdot 70000 = 120 \cdot (x + y) \cdot \frac{70000}{10000} \]
\[ C_{\text{mặt bên}} = 120 \cdot (x + y) \cdot 7 = 840 \cdot (x + y) \text{ đồng} \]

Tổng chi phí để hoàn thành bể cá là:
\[ C = C_{\text{đáy}} + C_{\text{mặt bên}} = 16000 + 840 \cdot (x + y) \text{ đồng} \]

Bước 3: Biểu diễn hàm chi phí theo một biến và tìm giá trị nhỏ nhất.

Chúng ta đã có mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\) là \(x \cdot y = 1600\).

Từ đó, ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\): \(y = \frac{1600}{x}\).

Thay \(y\) vào biểu thức chi phí \(C\), ta được hàm chi phí theo biến \(x\) (với \(x > 0\)):
\[ C(x) = 16000 + 840 \cdot \left(x + \frac{1600}{x}\right) \]
Để tìm chi phí thấp nhất, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(C(x)\).

Để thuận tiện, chúng ta xét hàm số phụ \(f(x) = x + \frac{1600}{x}\) với \(x > 0\).

Tính đạo hàm của \(f(x)\):
\[ f'(x) = \left(x + \frac{1600}{x}\right)’ = 1 – \frac{1600}{x^2} \]
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \(f'(x) = 0\):
\[ 1 – \frac{1600}{x^2} = 0 \]
\[ 1 = \frac{1600}{x^2} \]
\[ x^2 = 1600 \]
Vì \(x > 0\), ta có \(x = \sqrt{1600} = 40\).

Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu đạo hàm:

Nếu \(0 < x < 40\), thì \(x^2 < 1600 \Rightarrow \frac{1600}{x^2} > 1 \Rightarrow f'(x) = 1 – \frac{1600}{x^2} < 0\). Hàm số \(f(x)\) nghịch biến.
Nếu \(x > 40\), thì \(x^2 > 1600 \Rightarrow \frac{1600}{x^2} < 1 \Rightarrow f'(x) = 1 - \frac{1600}{x^2} > 0\). Hàm số \(f(x)\) đồng biến.

Vậy, hàm số \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 40\).

Bước 4: Tính toán kích thước và chi phí nhỏ nhất.

Khi \(x = 40\) cm, thì:
\[ y = \frac{1600}{x} = \frac{1600}{40} = 40 \text{ cm} \]
Điều này có nghĩa là đáy bể cá là một hình vuông với cạnh là 40 cm.

Khi đó, tổng \(x + y\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(40 + 40 = 80\) cm.

Thay giá trị nhỏ nhất của \(x + y\) vào công thức tổng chi phí \(C\):
\[ C_{\text{min}} = 16000 + 840 \cdot (40 + 40) \]
\[ C_{\text{min}} = 16000 + 840 \cdot 80 \]
\[ C_{\text{min}} = 16000 + 67200 \]
\[ C_{\text{min}} = 83200 \text{ đồng} \]

Bước 5: Trả lời theo yêu cầu của đề bài.

Đề bài hỏi chi phí thấp nhất là bao nhiêu nghìn đồng.

\[ 83200 \text{ đồng} = \frac{83200}{1000} \text{ nghìn đồng} = 83.2 \text{ nghìn đồng} \]

Vậy, chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là 83.2 nghìn đồng.

Chúc các em học tốt và luôn tìm thấy niềm vui trong môn Toán!