Xin chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một bài tập rất thú vị liên quan đến hình đa giác đều. Các em hãy mở sách giáo khoa Toán 10 trang 108, bài tập 5 nhé. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng ý để xác định xem phát biểu nào là ĐÚNG, phát biểu nào là SAI.

Đề bài cho chúng ta một hình đa giác đều có 20 cạnh. Chúng ta cần kiểm tra các mệnh đề sau:

a) Có 45 hình chữ nhật lập từ các đỉnh của đa giác.

Các em nhớ lại kiến thức về hình chữ nhật nhé. Một hình chữ nhật được xác định bởi 4 đỉnh. Để lập được một hình chữ nhật từ các đỉnh của đa giác đều, chúng ta cần chọn ra 4 đỉnh sao cho 4 đỉnh này tạo thành một hình chữ nhật.

Trong một đa giác đều có 20 đỉnh, làm thế nào để chọn ra 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật?

Một hình chữ nhật có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Nếu các đỉnh của hình chữ nhật nằm trên đường tròn ngoại tiếp đa giác đều, thì hai đường chéo của hình chữ nhật chính là hai đường kính của đường tròn đó.

Vậy, để tạo thành một hình chữ nhật, chúng ta cần chọn 2 đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều. Mỗi đường kính sẽ nối hai đỉnh đối diện của đa giác đều.

Đa giác đều có 20 cạnh, tức là có 20 đỉnh. Số đường kính có thể kẻ từ các đỉnh của đa giác này là bao nhiêu?
Nếu ta chọn một đỉnh, thì đỉnh đối diện của nó sẽ tạo thành một đường kính. Vì có 20 đỉnh, ta có thể tạo thành \(20 / 2 = 10\) đường kính.

Để tạo thành một hình chữ nhật, chúng ta cần chọn 2 đường kính khác nhau từ 10 đường kính có thể có.
Số cách chọn 2 đường kính từ 10 đường kính là:
\[ \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \]

Vậy, có 45 hình chữ nhật được lập từ các đỉnh của đa giác. Mệnh đề này là ĐÚNG.

b) Có 1140 tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác.

Để tạo thành một tam giác, chúng ta cần chọn 3 đỉnh bất kỳ từ 20 đỉnh của đa giác. Số cách chọn 3 đỉnh từ 20 đỉnh là tổ hợp chập 3 của 20.
\[ \binom{20}{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140 \]

Vậy, có 1140 tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác. Mệnh đề này là ĐÚNG.

c) Đa giác có 170 đường chéo.

Công thức tính số đường chéo của một đa giác lồi có \(n\) cạnh là:
\[ \frac{n(n-3)}{2} \]
Trong trường hợp này, \(n = 20\).
Số đường chéo của đa giác là:
\[ \frac{20(20-3)}{2} = \frac{20 \times 17}{2} = 10 \times 17 = 170 \]

Vậy, đa giác có 170 đường chéo. Mệnh đề này là ĐÚNG.

d) Số vecto được tạo từ các đỉnh của đa giác là 190.

Một vectơ được xác định bởi một điểm đầu và một điểm cuối. Để tạo một vectơ từ các đỉnh của đa giác, chúng ta cần chọn 2 đỉnh khác nhau để làm điểm đầu và điểm cuối.
Số cách chọn 2 đỉnh từ 20 đỉnh để tạo thành một vectơ có hướng (ví dụ: vectơ từ đỉnh A đến đỉnh B là khác với vectơ từ đỉnh B đến đỉnh A) là chỉnh hợp chập 2 của 20.
\[ A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \times 19 = 380 \]

Tuy nhiên, đề bài nói “Số vecto được tạo từ các đỉnh của đa giác”, thông thường trong trường hợp này, chúng ta hiểu là các vectơ có gốc và ngọn là hai đỉnh phân biệt của đa giác.
Số cặp đỉnh phân biệt ta có thể chọn là \( \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \).
Với mỗi cặp đỉnh phân biệt \(A\) và \(B\), ta có thể tạo ra hai vectơ là \( \vec{AB} \) và \( \vec{BA} \).
Do đó, nếu hiểu “vecto được tạo từ các đỉnh” là các vectơ có gốc và ngọn là hai đỉnh phân biệt của đa giác, thì số vectơ sẽ là \( 2 \times \binom{20}{2} = 2 \times 190 = 380 \).

Nếu đề bài ám chỉ số cặp đỉnh có thứ tự, thì đó là \(A_{20}^2 = 380\).
Nếu đề bài ám chỉ số đoạn thẳng có hướng, tức là số vectơ không phải là vectơ không, thì đó là 380.

Tuy nhiên, với cách diễn đạt “Số vecto được tạo từ các đỉnh của đa giác là 190”, có thể người ra đề đang nhầm lẫn với số cặp đỉnh (tức là số đoạn thẳng không có hướng).
Trong chương trình Toán 10, khi nói đến “vecto tạo từ các đỉnh”, chúng ta thường hiểu là chọn 2 đỉnh phân biệt làm điểm đầu và điểm cuối.
Số cặp đỉnh phân biệt là \( \binom{20}{2} = 190 \).
Nhưng mỗi cặp đỉnh \(A, B\) có thể tạo ra \( \vec{AB} \) và \( \vec{BA} \). Vậy có 380 vectơ.

Do đó, mệnh đề này là SAI. Nếu đề bài muốn hỏi số cặp đỉnh phân biệt thì 190 là đúng, nhưng hỏi số vectơ thì phải là 380.

Vậy, kết luận cuối cùng của chúng ta là:
a) ĐÚNG
b) ĐÚNG
c) ĐÚNG
d) SAI

Các em đã hiểu bài chưa nào? Hãy xem lại các bước tính toán của mình nhé. Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi cô!