giá trị lớn nhất của hàm số y=2sin2x-1 bằng?
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước, dựa trên kiến thức đã học ở chương trình Toán lớp 11.
Bước 1: Xác định tập giá trị của hàm số sin
Các em còn nhớ, với mọi số thực x, giá trị của hàm số sin(u) luôn nằm trong một khoảng nào không? Đúng rồi, đó là khoảng từ -1 đến 1.
Nói cách khác, với mọi số thực u, ta có:
\[ -1 \le \sin(u) \le 1 \]
Trong bài tập của chúng ta, biến “u” chính là “2x”. Vậy nên, với mọi số thực x, ta có:
\[ -1 \le \sin(2x) \le 1 \]
Bước 2: Biến đổi để có được biểu thức của hàm số đã cho
Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 2sin(2x) – 1. Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phép biến đổi từ bất đẳng thức ở Bước 1 để đi đến biểu thức này.
Đầu tiên, chúng ta nhân cả ba vế của bất đẳng thức với 2. Lưu ý là khi nhân với một số dương thì chiều của bất đẳng thức không đổi.
\[ 2 \times (-1) \le 2 \times \sin(2x) \le 2 \times 1 \]
\[ -2 \le 2\sin(2x) \le 2 \]
Tiếp theo, chúng ta trừ cả ba vế của bất đẳng thức cho 1. Tương tự, khi cộng hoặc trừ với một số thì chiều của bất đẳng thức không đổi.
\[ -2 – 1 \le 2\sin(2x) – 1 \le 2 – 1 \]
\[ -3 \le 2\sin(2x) – 1 \le 1 \]
Bước 3: Xác định giá trị lớn nhất của hàm số
Quan sát bất đẳng thức cuối cùng ở Bước 2, ta thấy biểu thức 2sin(2x) – 1 luôn lớn hơn hoặc bằng -3 và nhỏ hơn hoặc bằng 1.
\[ -3 \le y \le 1 \]
Điều này có nghĩa là giá trị nhỏ nhất của hàm số là -3 và giá trị lớn nhất của hàm số là 1.
Để khẳng định giá trị lớn nhất là 1, chúng ta cần xem liệu có giá trị nào của x để y đạt được giá trị này hay không.
Hàm số y đạt giá trị lớn nhất là 1 khi:
\[ 2\sin(2x) – 1 = 1 \]
\[ 2\sin(2x) = 2 \]
\[ \sin(2x) = 1 \]
Phương trình này có nghiệm. Ví dụ, khi 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi với k là số nguyên, ta có sin(2x) = 1. Từ đó, ta có thể tìm được giá trị của x.
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số y = 2sin(2x) – 1 là 1.
Kết luận:
Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2sin(2x) – 1 bằng 1.
Đáp án:
\(Max=3\)
Giải thích các bước giải:
Ta có :
\(sin2x\in [-1;1]\)
nên
\(-2\leq sin2x -1\leq 2\)
\(-1\leq sin2x \leq 3\)
Vậy \(max=3\) khi \(x=\dfrac{k\pi}{2}\)
\(~rai~\)
\(\text{Ta có:}\sin2x\le 1\\\Leftrightarrow 2\sin2x\le 2\\\Leftrightarrow 2\sin2x-1\le 1\\\Leftrightarrow y\le 1.\\+)Max_y=1\Leftrightarrow \sin2x=1\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi.(k\in\mathbb{Z})\\\text{Vậy Max}_y=1\text{ khi }x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi.(k\in\mathbb{Z})\)