giải bất phương trình 2x^2-6x+5>0
2x^2 – 6x + 5 > 0
Các em hãy chú ý quan sát từng bước giải của thầy nhé.
Bước 1: Xác định dạng của bất phương trình.
Bất phương trình đã cho có dạng bậc hai, với biến x. Chúng ta sẽ tìm cách đưa nó về một dạng dễ phân tích hơn.
Bước 2: Biến đổi bất phương trình về dạng bình phương của một biểu thức.
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương để biến đổi biểu thức 2x^2 – 6x + 5.
Trước hết, chúng ta nhóm các hạng tử chứa x và đặt thừa số chung là 2:
2(x^2 – 3x) + 5 > 0
Bây giờ, chúng ta sẽ “tạo” hằng đẳng thức bình phương cho biểu thức trong ngoặc (x^2 – 3x). Nhớ lại hằng đẳng thức \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\). Ở đây, \(a = x\) và \(2ab = 3x\), suy ra \(b = \frac{3}{2}\).
Vậy, ta cần có \((\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}\) để hoàn thành bình phương:
2(x^2 – 3x + \frac{9}{4} – \frac{9}{4}) + 5 > 0
Bây giờ, chúng ta có thể nhóm ba hạng tử đầu tiên để tạo thành bình phương:
2((x – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4}) + 5 > 0
Bước 3: Tiếp tục biến đổi và rút gọn bất phương trình.
Chúng ta nhân phân phối số 2 vào biểu thức trong ngoặc:
2(x – \frac{3}{2})^2 – 2 \times \frac{9}{4} + 5 > 0
2(x – \frac{3}{2})^2 – \frac{18}{4} + 5 > 0
2(x – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{2} + 5 > 0
Để cộng hai số \(\frac{-9}{2}\) và 5, chúng ta quy đồng mẫu số:
2(x – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{2} + \frac{10}{2} > 0
2(x – \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0
Bước 4: Phân tích và kết luận.
Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào bất phương trình cuối cùng:
2(x – \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0
Chúng ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là \((x – \frac{3}{2})^2 \ge 0\) với mọi giá trị của x.
Khi nhân với số dương 2, ta vẫn có:
\(2(x – \frac{3}{2})^2 \ge 0\) với mọi giá trị của x.
Và khi cộng thêm \(\frac{1}{2}\) (là một số dương), ta có:
\(2(x – \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} \ge 0 + \frac{1}{2}\)
\(2(x – \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\)
Điều này có nghĩa là biểu thức \(2(x – \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}\) luôn luôn lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{2}\).
Vì \(\frac{1}{2} > 0\), nên bất phương trình \(2(x – \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0\) luôn đúng với mọi giá trị của x.
Kết luận:
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là tập hợp tất cả các số thực. Chúng ta có thể viết tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\).
Các em thấy đấy, bằng cách biến đổi khéo léo, chúng ta đã tìm ra nghiệm của bài toán. Quan trọng là các em phải nắm vững các hằng đẳng thức và cách biến đổi đại số. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
\(2x^2-6x+5>0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{2}x)^2-2.\sqrt{2}x.\frac{3}{\sqrt{2}} +\frac{9}{2} + \frac{1}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{2}x-\frac{3}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2}>0\) (luôn đúng)
Vậy \(S=R\)
⇔ 2x^2-6x+5>0
⇔ -4x + 5 > 0
⇔ -4x > -5
⇔ x < 5/4
Vậy tập nghiệm của bất pt: S={ x ∈ R/ x < 5/4 }