Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên Toán của các em đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục hai bài toán phương trình khá thú vị trong chương trình Toán lớp 8. Các em hãy chuẩn bị tập và bút để cùng cô làm bài nhé!

Chúng ta sẽ bắt đầu với câu a).

a) Giải phương trình: 2x-1/5 – x+7/15 = x-2/3

Đầu tiên, các em hãy quan sát phương trình. Chúng ta thấy đây là một phương trình chứa phân thức với các mẫu số là 5, 15 và 3. Để giải phương trình này, việc đầu tiên chúng ta cần làm là quy đồng mẫu số các phân thức.

Bước 1: Tìm mẫu số chung.
Mẫu số chung nhỏ nhất của 5, 15 và 3 là 15.

Bước 2: Quy đồng mẫu số.
– Phân thức thứ nhất: \(\frac{2x-1}{5}\). Để mẫu số là 15, ta nhân cả tử và mẫu với 3.
\(\frac{2x-1}{5} = \frac{(2x-1) \times 3}{5 \times 3} = \frac{6x-3}{15}\)

– Phân thức thứ hai: \(\frac{x+7}{15}\). Mẫu số đã là 15, nên ta giữ nguyên.

– Phân thức thứ ba: \(\frac{x-2}{3}\). Để mẫu số là 15, ta nhân cả tử và mẫu với 5.
\(\frac{x-2}{3} = \frac{(x-2) \times 5}{3 \times 5} = \frac{5x-10}{15}\)

Bước 3: Viết lại phương trình với các phân thức đã được quy đồng.
Phương trình ban đầu trở thành:
\(\frac{6x-3}{15} – \frac{x+7}{15} = \frac{5x-10}{15}\)

Bước 4: Khử mẫu số.
Vì các phân thức có cùng mẫu số chung là 15, ta có thể khử mẫu số bằng cách nhân cả hai vế của phương trình với 15.
\(15 \times \left( \frac{6x-3}{15} – \frac{x+7}{15} \right) = 15 \times \left( \frac{5x-10}{15} \right)\)
\((6x-3) – (x+7) = 5x-10\)

Bước 5: Giải phương trình bậc nhất.
Bây giờ chúng ta có một phương trình bậc nhất đơn giản. Ta cần bỏ dấu ngoặc và chuyển các hạng tử chứa x về một vế, các hạng tử tự do về vế còn lại.
\(6x – 3 – x – 7 = 5x – 10\)
\(5x – 10 = 5x – 10\)

Quan sát phương trình này, chúng ta thấy cả hai vế đều giống hệt nhau. Điều này có nghĩa là phương trình có vô số nghiệm. Bất kỳ giá trị nào của x cũng làm cho phương trình này đúng.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = \( \mathbb{R} \) (tập hợp số thực).

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển sang câu b).

b) Giải phương trình: 1/x-1 + 2/1+x = 4x+6/x^2-1

Đối với phương trình này, chúng ta thấy xuất hiện mẫu số là \(x-1\), \(1+x\) và \(x^2-1\).
Chúng ta cần lưu ý điều kiện xác định của phương trình này. Mẫu số phải khác 0.
– \(x-1 \neq 0 \implies x \neq 1\)
– \(1+x \neq 0 \implies x \neq -1\)
– \(x^2-1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1\) và \(x \neq -1\)

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là \(x \neq 1\) và \(x \neq -1\).

Bước 1: Phân tích mẫu số \(x^2-1\).
Chúng ta nhận thấy \(x^2-1\) là một hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, có thể phân tích thành \((x-1)(x+1)\).
Lưu ý rằng \(1+x\) cũng chính là \(x+1\).

Bước 2: Tìm mẫu số chung.
Mẫu số chung nhỏ nhất của \(x-1\), \(x+1\) và \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\) là \((x-1)(x+1)\).

Bước 3: Quy đồng mẫu số.
– Phân thức thứ nhất: \(\frac{1}{x-1}\). Để mẫu số là \((x-1)(x+1)\), ta nhân cả tử và mẫu với \(x+1\).
\(\frac{1}{x-1} = \frac{1 \times (x+1)}{(x-1) \times (x+1)} = \frac{x+1}{x^2-1}\)

– Phân thức thứ hai: \(\frac{2}{1+x} = \frac{2}{x+1}\). Để mẫu số là \((x-1)(x+1)\), ta nhân cả tử và mẫu với \(x-1\).
\(\frac{2}{x+1} = \frac{2 \times (x-1)}{(x+1) \times (x-1)} = \frac{2x-2}{x^2-1}\)

– Phân thức thứ ba: \(\frac{4x+6}{x^2-1}\). Mẫu số đã là \(x^2-1\), nên ta giữ nguyên.

Bước 4: Viết lại phương trình với các phân thức đã được quy đồng.
Phương trình ban đầu trở thành:
\(\frac{x+1}{x^2-1} + \frac{2x-2}{x^2-1} = \frac{4x+6}{x^2-1}\)

Bước 5: Khử mẫu số.
Với điều kiện xác định \(x \neq 1\) và \(x \neq -1\), ta có thể khử mẫu số bằng cách nhân cả hai vế với \(x^2-1\).
\(x+1 + 2x-2 = 4x+6\)

Bước 6: Giải phương trình bậc nhất.
Bây giờ chúng ta lại có một phương trình bậc nhất. Ta gom các hạng tử chứa x và các hạng tử tự do.
\(3x – 1 = 4x + 6\)
Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hạng tử tự do về vế còn lại:
\(3x – 4x = 6 + 1\)
\(-x = 7\)
Nhân cả hai vế với -1 để tìm x:
\(x = -7\)

Bước 7: Kiểm tra điều kiện xác định.
Chúng ta thu được nghiệm \(x = -7\). Chúng ta cần kiểm tra xem nghiệm này có thỏa mãn điều kiện xác định \(x \neq 1\) và \(x \neq -1\) hay không.
Rõ ràng, \(-7 \neq 1\) và \(-7 \neq -1\).
Vì vậy, \(x = -7\) là một nghiệm hợp lệ.

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = -7\).

Các em thấy đó, giải phương trình tuy có nhiều dạng nhưng phương pháp chung vẫn là quy đồng mẫu số, khử mẫu và giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Quan trọng là các em phải nhớ điều kiện xác định khi giải phương trình chứa phân thức.

Các em hãy xem lại bài giảng của cô và tự luyện thêm các bài tập tương tự nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!