Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một phương trình lượng giác cơ bản, thường gặp trong chương trình Toán lớp 12 của chúng ta. Bài toán yêu cầu chúng ta giải phương trình: \( \sin x – \sqrt{3} \cos x = 0 \).

Đây là một dạng phương trình lượng giác quen thuộc có dạng \( a \sin u + b \cos u = c \). Trong trường hợp này, \( a=1 \), \( b=-\sqrt{3} \) và \( c=0 \). Để giải loại phương trình này, chúng ta thường sử dụng phương pháp biến đổi về dạng \( R \sin(u+\alpha) = c \) hoặc \( R \cos(u+\alpha) = c \).

Chúng ta hãy cùng nhau thực hiện từng bước một nhé!

Bước 1: Xác định các hệ số và tính \( R \)
Phương trình đã cho có dạng \( a \sin x + b \cos x = c \), với:
\( a = 1 \)
\( b = -\sqrt{3} \)
\( c = 0 \)

Chúng ta tính \( R = \sqrt{a^2 + b^2} \).
\[ R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]
Vậy, \( R = 2 \).

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho \( R \)
Chia cả hai vế của phương trình \( \sin x – \sqrt{3} \cos x = 0 \) cho \( R=2 \), ta được:
\[ \frac{1}{2} \sin x – \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 0 \]

Bước 3: Biến đổi về công thức cộng của sin hoặc cos
Chúng ta nhận thấy rằng \( \frac{1}{2} \) và \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) là các giá trị lượng giác của những góc đặc biệt. Cụ thể, ta có thể chọn một góc \( \alpha \) sao cho:
\( \cos \alpha = \frac{1}{2} \) và \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Hoặc:
\( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) và \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)

Trong trường hợp này, để áp dụng công thức \( \sin(A-B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B \), ta sẽ chọn \( \alpha \) sao cho \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \) và \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Góc \( \alpha \) phù hợp nhất là \( \frac{\pi}{3} \) (hoặc \( 60^\circ \)).
Do đó, phương trình trở thành:
\[ \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{3} – \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 0 \]
Áp dụng công thức trừ của sin, ta có:
\[ \sin \left( x – \frac{\pi}{3} \right) = 0 \]

Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản
Đây là phương trình lượng giác cơ bản có dạng \( \sin u = 0 \). Chúng ta biết rằng nghiệm của phương trình này là \( u = k\pi \), với \( k \) là số nguyên bất kỳ (tức là \( k \in \mathbb{Z} \)).
Áp dụng vào phương trình của chúng ta, ta có:
\[ x – \frac{\pi}{3} = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Bước 5: Tìm nghiệm của \( x \)
Từ phương trình trên, chúng ta rút \( x \) ra:
\[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Kết luận:
Vậy, các nghiệm của phương trình \( \sin x – \sqrt{3} \cos x = 0 \) là \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \), trong đó \( k \) là một số nguyên bất kỳ.

Lưu ý thêm:
Ngoài cách này, các em có thể chia cả hai vế cho \( \cos x \) (nếu \( \cos x \neq 0 \)) để đưa về phương trình \( \tan x = \sqrt{3} \).
Nếu \( \cos x = 0 \), tức là \( x = \frac{\pi}{2} + m\pi \), thì \( \sin x = \pm 1 \). Thay vào phương trình ban đầu, ta được \( \pm 1 – \sqrt{3}(0) = \pm 1 \neq 0 \). Do đó, \( \cos x \neq 0 \).
Khi chia cả hai vế cho \( \cos x \), ta được:
\[ \frac{\sin x}{\cos x} – \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0 \]
\[ \tan x – \sqrt{3} = 0 \]
\[ \tan x = \sqrt{3} \]
Vì \( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), nên phương trình trở thành:
\[ \tan x = \tan \frac{\pi}{3} \]
Nghiệm của phương trình này là \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \).
Cả hai phương pháp đều cho kết quả giống nhau, cho thấy tính đúng đắn của lời giải.

Hy vọng các em đã nắm rõ cách giải bài toán này. Chúc các em học tốt!