Đây là một bài toán rất hay và tiêu biểu cho dạng phương trình vô tỉ nâng cao trong chương trình lớp 10. Dạng toán này thoạt nhìn có vẻ phức tạp vì nếu bình phương hai vế ngay lập tức sẽ dẫn đến một phương trình bậc 4 rất khó giải.

Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp hiệu quả hơn, đó là đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng. Phương pháp này giúp “hạ bậc” và làm cho cấu trúc của bài toán trở nên rõ ràng hơn. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước nhé.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Biểu thức dưới dấu căn phải không âm, do đó:
\(4x + 5 \ge 0 \iff 4x \ge -5 \iff x \ge -\frac{5}{4}\).
Đây là điều kiện bắt buộc cho mọi nghiệm của phương trình.

Bước 2: Phân tích và đặt ẩn phụ.
Ta sẽ đặt một ẩn phụ \(y\) liên quan đến biểu thức chứa căn. Tuy nhiên, ta sẽ không đặt \(y = \sqrt{4x+5}\) một cách thông thường. Để tạo ra sự đối xứng, ta sẽ đặt một biểu thức bậc nhất theo \(y\). Cụ thể:
Đặt \( \sqrt{4x+5} = 2y-3 \).

• Lý do chọn 2y – 3: Em để ý vế trái có hạng tử \(-6x\). Ta biến đổi \(2x^2 – 6x – 1\) thành \(2(x^2 – 3x) – 1\). Cấu trúc \(x^2 – 3x\) gợi ý cho ta tạo ra một biểu thức \(y^2 – 3y\) ở vế bên kia, và việc đặt \( \sqrt{4x+5} = 2y-3 \) sẽ giúp ta làm được điều đó.

Từ cách đặt này, ta có điều kiện cho ẩn phụ \(y\):
\(2y-3 \ge 0 \iff y \ge \frac{3}{2}\).

Bước 3: Thiết lập hệ phương trình.
Từ cách đặt ẩn phụ, ta có:
\( \sqrt{4x+5} = 2y-3 \)
\(\iff 4x+5 = (2y-3)^2 \)
\(\iff 4x+5 = 4y^2 – 12y + 9 \)
\(\iff 4x = 4y^2 – 12y + 4 \)
\(\iff x = y^2 – 3y + 1\) (1)

Bây giờ, ta thay \( \sqrt{4x+5} = 2y-3 \) vào phương trình gốc:
\(2x^2 – 6x – 1 = 2y – 3 \)
\(\iff 2x^2 – 6x = 2y – 2 \)
\(\iff x^2 – 3x = y – 1 \)
\(\iff y = x^2 – 3x + 1\) (2)

Từ (1) và (2), ta thu được một hệ phương trình đối xứng loại 2 (vai trò của \(x\) và \(y\) có thể hoán đổi cho nhau):
\[
\begin{cases}
x = y^2 – 3y + 1 & (1) \\
y = x^2 – 3x + 1 & (2)
\end{cases}
\]

Bước 4: Giải hệ phương trình.
Lấy phương trình (1) trừ vế theo vế cho phương trình (2), ta được:
\( x – y = (y^2 – 3y + 1) – (x^2 – 3x + 1) \)
\( \iff x – y = y^2 – x^2 – 3y + 3x \)
\( \iff x – y = -(x^2 – y^2) + 3(x-y) \)
\( \iff x – y = -(x-y)(x+y) + 3(x-y) \)
\( \iff (x-y) + (x-y)(x+y) – 3(x-y) = 0 \)
\( \iff (x-y)(1 + x + y – 3) = 0 \)
\( \iff (x-y)(x + y – 2) = 0 \)
\( \iff \begin{cases} x-y = 0 \\ x+y-2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = y \\ y = 2-x \end{cases} \)

Bước 5: Giải và đối chiếu điều kiện cho từng trường hợp.
Trường hợp 1: \(x = y\).
Thay \(y = x\) vào phương trình (2) của hệ, ta có:
\(x = x^2 – 3x + 1\)
\(\iff x^2 – 4x + 1 = 0\)
Giải phương trình bậc hai này (dùng \(\Delta’\)), ta được: \(x = 2 \pm \sqrt{3}\).

• Với \(x = 2 + \sqrt{3}\), ta kiểm tra các điều kiện:
  \(x = 2 + \sqrt{3} \approx 3.73 > -\frac{5}{4}\) (thỏa mãn điều kiện xác định).
  Do \(x = y\), ta có \(y = 2 + \sqrt{3} \approx 3.73 > \frac{3}{2}\) (thỏa mãn điều kiện của ẩn phụ).
  Vậy \(x = 2 + \sqrt{3}\) là một nghiệm.
• Với \(x = 2 – \sqrt{3}\), ta kiểm tra các điều kiện:
  \(x = 2 – \sqrt{3} \approx 0.27 > -\frac{5}{4}\) (thỏa mãn điều kiện xác định).
  Do \(x=y\), ta có \(y = 2 – \sqrt{3} \approx 0.27\), nhưng điều kiện là \(y \ge \frac{3}{2} = 1.5\). Do đó, giá trị này không thỏa mãn.
  Vậy \(x = 2 – \sqrt{3}\) bị loại.

Trường hợp 2: \(y = 2 – x\).
Thay \(y = 2-x\) vào phương trình (2) của hệ, ta có:
\(2 – x = x^2 – 3x + 1\)
\(\iff x^2 – 2x – 1 = 0\)
Giải phương trình bậc hai này, ta được: \(x = 1 \pm \sqrt{2}\).

• Với \(x = 1 + \sqrt{2}\), ta kiểm tra các điều kiện:
  \(x = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41 > -\frac{5}{4}\) (thỏa mãn điều kiện xác định).
  Ta có \(y = 2 – x = 2 – (1 + \sqrt{2}) = 1 – \sqrt{2} \approx -0.41\). Giá trị này không thỏa mãn điều kiện \(y \ge \frac{3}{2}\).
  Vậy \(x = 1 + \sqrt{2}\) bị loại.
• Với \(x = 1 – \sqrt{2}\), ta kiểm tra các điều kiện:
  \(x = 1 – \sqrt{2} \approx -0.41 > -\frac{5}{4}\) (thỏa mãn điều kiện xác định).
  Ta có \(y = 2 – x = 2 – (1 – \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41 > \frac{3}{2}\) (thỏa mãn điều kiện của ẩn phụ).
  Vậy \(x = 1 – \sqrt{2}\) là một nghiệm.

Bước 6: Kết luận.
Tổng hợp cả hai trường hợp, phương trình đã cho có hai nghiệm là:

• \(x = 2 + \sqrt{3}\)
• \(x = 1 – \sqrt{2}\)

Đây là một dạng toán khó nhưng rất thú vị, đòi hỏi sự quan sát tinh tế và vận dụng linh hoạt phương pháp. Em hãy luyện tập thêm các bài tương tự để thành thạo cách giải này nhé. Chúc em học tốt