Chào các em học sinh thân mến,

Để giải phương trình lượng giác Cos 3x + cos 5x = 0, chúng ta sẽ áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đây là một phương pháp rất hiệu quả khi chúng ta gặp các phương trình có dạng tổng hoặc hiệu của các hàm lượng giác bằng 0, vì nó giúp chúng ta chuyển từ một tổng phức tạp sang một tích, từ đó dễ dàng tìm ra nghiệm.

Bước 1: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình đã cho có dạng \( \cos A + \cos B = 0 \). Công thức biến đổi tổng thành tích cho hàm cosin là:

\[ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

Trong bài toán này, chúng ta xác định được \( A = 3x \) và \( B = 5x \).

Khi áp dụng công thức này vào phương trình, ta được:

\[ 2 \cos\left(\frac{3x + 5x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x – 5x}{2}\right) = 0 \]

Bước 2: Rút gọn phương trình

Bây giờ chúng ta sẽ tính toán các biểu thức trong ngoặc:

• Tổng hai góc: \( \frac{3x + 5x}{2} = \frac{8x}{2} = 4x \)
• Hiệu hai góc: \( \frac{3x – 5x}{2} = \frac{-2x}{2} = -x \)

Thay các giá trị này vào phương trình, ta có:

\[ 2 \cos(4x) \cos(-x) = 0 \]

Chúng ta cần nhớ một tính chất quan trọng của hàm cosin: đây là hàm chẵn, có nghĩa là \( \cos(-u) = \cos(u) \). Vì vậy, \( \cos(-x) = \cos(x) \).

Phương trình tiếp tục được rút gọn thành:

\[ 2 \cos(4x) \cos(x) = 0 \]

Để một tích bằng 0, ít nhất một trong các thừa số phải bằng 0. Chúng ta có thể chia cả hai vế cho 2 để làm gọn hơn:

\[ \cos(4x) \cos(x) = 0 \]

Từ đây, chúng ta suy ra hai trường hợp cần giải:

1. \( \cos(4x) = 0 \)
2. \( \cos(x) = 0 \)

Bước 3: Giải từng trường hợp cụ thể

Trường hợp 1: Giải phương trình \( \cos(4x) = 0 \)

Chúng ta biết rằng phương trình \( \cos u = 0 \) có nghiệm tổng quát là \( u = \frac{\pi}{2} + k\pi \), với \( k \) là một số nguyên bất kỳ (ký hiệu \( k \in \mathbb{Z} \)).

Áp dụng công thức này với \( u = 4x \), ta có:

\[ 4x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]

Để tìm \( x \), chúng ta chia cả hai vế cho 4:

\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \]

Trường hợp 2: Giải phương trình \( \cos(x) = 0 \)

Tương tự như trên, áp dụng công thức nghiệm tổng quát cho \( \cos u = 0 \) với \( u = x \), ta có:

\[ x = \frac{\pi}{2} + m\pi \quad \text{với } m \in \mathbb{Z} \]

(Chúng ta sử dụng chữ cái \( m \) thay vì \( k \) để phân biệt hai bộ nghiệm này, mặc dù cả \( k \) và \( m \) đều đại diện cho các số nguyên).

Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình

Vậy, các nghiệm của phương trình Cos 3x + cos 5x = 0 là:

\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + m\pi \]

trong đó \( k \) và \( m \) là các số nguyên bất kỳ.

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải này. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!