B=2x^2+6x-5
tìm GTLN hoặc GTNN nếu có
giúp mình với
tìm GTLN hoặc GTNN nếu có
giúp mình với
Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức đại số \(B=2x^2+6x-5\). Đây là một dạng toán rất phổ biến và quan trọng ở lớp 8, thường được giải bằng phương pháp **đưa về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu** (hay còn gọi là phương pháp hoàn thành bình phương).
Dàn ý các bước giải:
- Nhận xét hệ số của \(x^2\) để xác định xem biểu thức có GTLN hay GTNN.
- Biến đổi biểu thức bằng cách đặt hệ số của \(x^2\) ra ngoài dấu ngoặc, sau đó “hoàn thành bình phương” cho phần còn lại.
- Đánh giá giá trị của biểu thức dựa trên tính chất của bình phương một số.
- Kết luận GTLN hoặc GTNN và giá trị của \(x\) tại đó.
Bây giờ chúng ta cùng giải bài toán nhé:
Bước 1: Nhận xét hệ số của \(x^2\).
Biểu thức của chúng ta là \(B=2x^2+6x-5\).
Ta thấy hệ số của \(x^2\) là \(2\). Vì \(2 > 0\) (là một số dương), điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số bậc hai này là một parabol mở lên trên, nên biểu thức sẽ có **giá trị nhỏ nhất** (GTNN) chứ không có giá trị lớn nhất.
Bước 2: Biến đổi biểu thức bằng phương pháp hoàn thành bình phương.
Mục tiêu của chúng ta là đưa biểu thức về dạng \(A(x-h)^2 + k\) hoặc \(A(x+h)^2 + k\).
-
Đầu tiên, chúng ta sẽ nhóm các số hạng chứa \(x\) và đặt hệ số của \(x^2\) ra ngoài dấu ngoặc:
\[B = 2x^2+6x-5\]
\[B = 2(x^2+3x) – 5\]
Giải thích: Việc đặt hệ số \(2\) ra ngoài dấu ngoặc giúp chúng ta dễ dàng biến đổi phần bên trong ngoặc thành dạng hằng đẳng thức \(a^2+2ab+b^2\) hoặc \(a^2-2ab+b^2\).
-
Tiếp theo, chúng ta sẽ “hoàn thành bình phương” cho biểu thức \(x^2+3x\) trong dấu ngoặc:
Để tạo thành hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\), ta cần xác định \(a\) và \(b\).
Ở đây, \(a=x\).
Ta có \(2ab = 3x \Rightarrow 2 \cdot x \cdot b = 3x \Rightarrow b = \frac{3}{2}\).
Vậy, ta cần cộng thêm \(b^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\) vào để tạo thành hằng đẳng thức.
Để giá trị của biểu thức không thay đổi, chúng ta sẽ cộng \(\frac{9}{4}\) rồi lại trừ \(\frac{9}{4}\) trong dấu ngoặc:
\[x^2+3x = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + \left(\frac{3}{2}\right)^2 – \left(\frac{3}{2}\right)^2\]
\[x^2+3x = \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 – \frac{9}{4}\]
Giải thích: Bước này biến đổi phần đa thức bậc hai thành dạng bình phương của một tổng (hoặc hiệu) cộng hoặc trừ đi một hằng số. Đây là cốt lõi của phương pháp.
-
Bây giờ, chúng ta thay kết quả này trở lại vào biểu thức \(B\) ban đầu và rút gọn:
\[B = 2\left[\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 – \frac{9}{4}\right] – 5\]
Thực hiện phép nhân phân phối:
\[B = 2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 – 2 \cdot \frac{9}{4} – 5\]
\[B = 2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 – \frac{9}{2} – 5\]
Quy đồng mẫu số và cộng các hằng số:
\[B = 2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 – \frac{9}{2} – \frac{10}{2}\]
\[B = 2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 – \frac{19}{2}\]
Giải thích: Sau khi thay thế và rút gọn, chúng ta đã đưa biểu thức về dạng \(A(x+h)^2 + k\), với \(A=2\), \(h=\frac{3}{2}\) và \(k=-\frac{19}{2}\).
Bước 3: Đánh giá giá trị của biểu thức.
Chúng ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là:
\[\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 \ge 0 \quad \text{với mọi giá trị của } x\]
Vì hệ số \(2\) là số dương, khi nhân vào ta được:
\[2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 \ge 0 \quad \text{với mọi giá trị của } x\]
Từ đó, ta có thể đánh giá biểu thức \(B\):
\[B = 2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 – \frac{19}{2} \ge 0 – \frac{19}{2}\]
\[B \ge -\frac{19}{2}\]
Dấu “=” (dấu bằng) xảy ra khi và chỉ khi phần bình phương bằng \(0\):
\[\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 = 0\]
Điều này tương đương với:
\[x+\frac{3}{2} = 0\]
\[x = -\frac{3}{2}\]
Giải thích: Bởi vì \(2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\) luôn luôn không âm, giá trị nhỏ nhất của nó là \(0\). Khi đó, biểu thức \(B\) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất của mình.
Bước 4: Kết luận.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B\) là \(-\frac{19}{2}\) khi \(x = -\frac{3}{2}\).
Thầy hy vọng phần giải thích này giúp em hiểu rõ bài toán hơn. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!
Đáp án:
\(B=2x^2+6x-5\)
\(=2(x^2+3x-5/2)\)
\(=2.[x^2+2.x. 3/2+(3/2)^2-(3/2)^2-5/2]\)
\(=2.[(x+3/2)^2-19/4]\)
\(=2(x+3/2)^2-19/2>=-19/2\)
Dấu “=” xảy ra \(<=> x+3/2=0\)
\(=> x=-3/2\)
Vậy \(B_(min)=-19/2 <=> x=-3/2\)
Đáp án:
\(B=2x^2 +6x-5\)
\(= (\sqrt[]{2}x)^2 +2 . \sqrt[]{2}x . \dfrac{3\sqrt[]{2}}{2} + \dfrac{9}{2} -\dfrac{19}{2}\)
\(=(\sqrt[]{2}x +\dfrac{3\sqrt[]{2}}{2})^2 -\dfrac{19}{2}\)
Vì \((\sqrt[]{2}x +\dfrac{3\sqrt[]{2}}{2})^2 ≥ 0\)
Nên \((\sqrt[]{2}x +\dfrac{3\sqrt[]{2}}{2})^2 -\dfrac{19}{2} ≥ -\dfrac{19}{2}\)
Dấu ”=” xảy ra khi \(\sqrt[]{2}x +\dfrac{3\sqrt[]{2}}{2} =0 ⇔ x = -\dfrac{3}{2}\)
Vậy Min B \(=-\dfrac{19}{2}\) tại \(x=-\dfrac{3}{2}\)