Chào các em học sinh thân yêu của thầy! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một dạng phương trình lượng giác cơ bản, mà các em đã được làm quen ở chương trình lớp 10 và sẽ tiếp tục vận dụng sâu hơn ở lớp 11. Bài toán của chúng ta là:

Giải phương trình: cosa = cosb

Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một, thật chi tiết nhé!

Bước 1: Nhớ lại định nghĩa và biểu diễn trên đường tròn lượng giác của hàm cosin.

Trên đường tròn lượng giác, giá trị của cosin của một góc được biểu diễn bằng hoành độ của điểm biểu diễn góc đó. Hai góc có cùng giá trị cosin khi và chỉ khi hai điểm biểu diễn chúng trên đường tròn lượng giác có cùng hoành độ.

Nếu hai điểm có cùng hoành độ trên đường tròn lượng giác, thì chúng hoặc là trùng nhau, hoặc là đối xứng nhau qua trục Ox (trục cosin).

Bước 2: Xét hai trường hợp có thể xảy ra.

Trường hợp 1: Hai góc a và b trùng nhau.
Điều này có nghĩa là a bằng b cộng với một số nguyên lần chu kỳ của hàm cosin. Chu kỳ của hàm cosin là 2π.
Vậy, ta có:
a = b + k2π , với k là một số nguyên bất kỳ (k ∈ ℤ).

Trường hợp 2: Hai góc a và b đối xứng nhau qua trục Ox.
Điều này có nghĩa là góc này bằng âm góc kia, cộng với một số nguyên lần chu kỳ của hàm cosin.
Vậy, ta có:
a = -b + k2π , với k là một số nguyên bất kỳ (k ∈ ℤ).

Bước 3: Kết hợp hai trường hợp và viết công thức nghiệm tổng quát.

Từ hai trường hợp trên, ta có thể viết lại công thức nghiệm tổng quát của phương trình cosa = cosb như sau:

\[ a = \pm b + k2\pi, \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Đây chính là dạng công thức nghiệm mà các em cần nhớ khi gặp phương trình có dạng cosa = cosb.

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng áp dụng công thức này vào một số ví dụ cụ thể trong sách giáo khoa để hiểu rõ hơn nhé.

Ví dụ 1: Giải phương trình cos(x) = cos(π/3).
Áp dụng công thức nghiệm tổng quát, ta có:
x = ± π/3 + k2π, (k ∈ ℤ)

Vậy, phương trình có hai họ nghiệm là:
x = π/3 + k2π, (k ∈ ℤ)
và
x = -π/3 + k2π, (k ∈ ℤ)

Ví dụ 2: Giải phương trình cos(2x) = cos(x – π/6).
Ở đây, ta coi a = 2x và b = x – π/6.
Áp dụng công thức nghiệm tổng quát:
2x = ± (x – π/6) + k2π, (k ∈ ℤ)

Ta xét hai trường hợp nhỏ từ dấu ±:

Trường hợp 2.1: Dấu cộng (+)
2x = (x – π/6) + k2π
2x – x = -π/6 + k2π
x = -π/6 + k2π, (k ∈ ℤ)

Trường hợp 2.2: Dấu trừ (-)
2x = -(x – π/6) + k2π
2x = -x + π/6 + k2π
2x + x = π/6 + k2π
3x = π/6 + k2π
x = π/18 + k2π/3, (k ∈ ℤ)

Vậy, phương trình đã cho có hai họ nghiệm là:
x = -π/6 + k2π, (k ∈ ℤ)
và
x = π/18 + k2π/3, (k ∈ ℤ)

Các em thấy đấy, việc nhớ công thức nghiệm tổng quát là rất quan trọng. Các em hãy ghi chép cẩn thận và ôn tập thường xuyên nhé.

Trong các bài học tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp tục làm quen với các dạng phương trình lượng giác khác và cách giải chúng. Chúc các em học tốt!