giải phương trình lượng giác : cos 2x – 5sinx -3 = 0
( giải chi tiết giúp em với…
( giải chi tiết giúp em với ạ)
Chúng ta sẽ bắt đầu phân tích và giải phương trình.
Bước 1: Phân tích và xác định hướng giải
Phương trình của chúng ta có hai hàm số lượng giác khác nhau là cos và sin, đồng thời cũng có hai cung khác nhau là 2x và x.
Mục tiêu của chúng ta là đưa phương trình này về một dạng phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác duy nhất (ví dụ: chỉ chứa sinx hoặc chỉ chứa cosx) và có cùng một cung x.
Nhận thấy trong phương trình có hạng tử \( -5sinx \), chúng ta nên biến đổi \(cos2x\) theo sinx.
Ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi cho cosin. Công thức này có 3 dạng, nhưng dạng phù hợp nhất ở đây là:
\[cos2x = 1 – 2sin^2x\]
Bước 2: Biến đổi phương trình
Bây giờ, ta thay công thức trên vào phương trình ban đầu:
\[(1 – 2sin^2x) – 5sinx – 3 = 0\]
Tiếp theo, ta rút gọn phương trình:
\[-2sin^2x – 5sinx – 2 = 0\]
Để cho phương trình dễ nhìn hơn, ta nhân cả hai vế với -1:
\[2sin^2x + 5sinx + 2 = 0\]
Bước 3: Giải phương trình bậc hai theo sinx
Đến đây, ta có một phương trình bậc hai với ẩn là \(sinx\). Để dễ dàng hơn, em có thể đặt ẩn phụ.
Đặt \(t = sinx\).
Một điều rất quan trọng em phải nhớ là điều kiện của \(sinx\), đó là: \(-1 \leq sinx \leq 1\).
Do đó, điều kiện của ẩn phụ t là: \(-1 \leq t \leq 1\).
Phương trình của chúng ta trở thành:
\[2t^2 + 5t + 2 = 0\]
Đây là phương trình bậc hai quen thuộc với các hệ số a = 2, b = 5, c = 2. Em có thể giải bằng cách tính Delta (Δ) hoặc nhẩm nghiệm.
Ta tính Delta:
\[\Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 – 16 = 9\]
Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]
\[t_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 – \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 – 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2\]
Bước 4: Đối chiếu điều kiện và tìm x
Bây giờ, ta so sánh các nghiệm \(t_1, t_2\) vừa tìm được với điều kiện \(-1 \leq t \leq 1\).
– Với \(t = -\frac{1}{2}\): Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \(-1 \leq -\frac{1}{2} \leq 1\). Do đó, ta nhận nghiệm này.
– Với \(t = -2\): Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện \(-1 \leq t \leq 1\). Do đó, ta loại nghiệm này.
Vậy, ta chỉ cần giải phương trình:
\[sinx = -\frac{1}{2}\]
Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Ta biết rằng \(sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\).
Do đó, phương trình trở thành:
\[sinx = sin(-\frac{\pi}{6})\]
Áp dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình \(sinA = sinB\):
\[
\begin{cases}
A = B + k2\pi \\
A = \pi – B + k2\pi
\end{cases}
\quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Ta được hai họ nghiệm:
\[
\begin{cases}
x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \\
x = \pi – (-\frac{\pi}{6}) + k2\pi
\end{cases}
\quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Rút gọn họ nghiệm thứ hai:
\[
\begin{cases}
x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \\
x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi
\end{cases}
\quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Bước 5: Kết luận
Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm là:
\[x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi, \quad (k \in \mathbb{Z})\]
và
\[x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi, \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Chúc em học tốt nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô.
Đáp án:
\([(x=7/6\pi+2k\),(x=11/6\pi+2k\pi):}\)
Giải thích các bước giải:
\(cos 2x-5sinx-3=0\) \(-1≤sinx≤1\)
\(⇔1-2sin^2 x-5sinx-3=0\)
\(⇔-2sin^2 x-5sinx-2=0\)
\(⇔2sin^2 x+5sin x+2=0\)
\(⇔2sin^2 x+4sin x+sinx+2=0\)
\(⇔2sinx(sinx+2)+(sinx+2)=0\)
\(⇔(2sinx+1)(sinx+2)=0\)
\(⇔[(2sinx+1=0),(sinx+2=0):}\)
\(⇔[(sinx=-1/2),(sinx=-2):}\)
Vì \(-1≤sinx≤1\)
\(⇔sinx=-1/2⇔[(x=7/6\pi+2k\pi\),(x=11/6\pi+2k\pi):}\) (\(k∈Z\))
Giải thích các bước giải:
Đặt \(\sin x=t, -1\le t\le 1\)
\(\to \cos2x=1-2\sin^2x =1-2t^2\)
\(\to (1-2t^2)-5t-3=0\)
\(\to -2t^2-5t-2=0\)
\(\to -(2t+1)(t+2)=0\)
Mà \(t\ge -1\to t+2>0\)
\(\to 2t+1=0\)
\(\to t=-\dfrac12\)
\(\to \sin x=-\dfrac12\)
\(\to x=\dfrac{7\pi }{6}+2\pi k\) hoặc \(\:x=\dfrac{11\pi }{6}+2\pi k, k\in Z\)