Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về phương trình nghiệm nguyên. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 7 của chúng ta, và cô tin rằng với sự hướng dẫn chi tiết, các em sẽ hiểu rõ từng bước giải.

Chúng ta sẽ giải phương trình:
x + 1/x + y + 1/y = 4

Đây là một phương trình có hai ẩn là x và y, và chúng ta tìm nghiệm nguyên, tức là x và y phải là các số nguyên.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Để biểu thức 1/x và 1/y có nghĩa, mẫu số của chúng phải khác 0.
Do đó, ta có điều kiện:
x \neq 0
y \neq 0

Bước 2: Biến đổi phương trình để dễ dàng tìm nghiệm

Ta sẽ nhóm các số hạng lại với nhau và quy đồng mẫu số:
(x + 1/x) + (y + 1/y) = 4

Quy đồng mẫu số cho từng nhóm:
( (x^2 + 1) / x ) + ( (y^2 + 1) / y ) = 4

Để tiếp tục giải, ta sẽ quy đồng mẫu số chung là xy:
( y(x^2 + 1) + x(y^2 + 1) ) / (xy) = 4

Nhân hai vế của phương trình với xy (lưu ý điều kiện x, y khác 0):
y(x^2 + 1) + x(y^2 + 1) = 4xy

Khai triển và sắp xếp lại các số hạng:
x^2y + y + xy^2 + x = 4xy

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế:
x^2y + y + xy^2 + x – 4xy = 0

Ta có thể nhóm các số hạng để xuất hiện các nhân tử chung:
(x^2y – 2xy + y) + (xy^2 – 2xy + x) = 0

Nhóm các số hạng theo từng biến và hệ số:
y(x^2 – 2x + 1) + x(y^2 – 2y + 1) = 0

Bước 3: Nhận dạng hằng đẳng thức

Các biểu thức trong ngoặc là các hằng đẳng thức quen thuộc:
x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2
y^2 – 2y + 1 = (y – 1)^2

Thay thế vào phương trình:
y(x – 1)^2 + x(y – 1)^2 = 0

Bước 4: Phân tích dấu của các số hạng

Ta xét các số hạng trong phương trình:
y(x – 1)^2
x(y – 1)^2

Chúng ta biết rằng (x – 1)^2 \geq 0 với mọi số thực x, và (y – 1)^2 \geq 0 với mọi số thực y.

Do đó, để tổng của hai số hạng này bằng 0, có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Một số hạng không âm và số hạng còn lại không dương.
Trường hợp 2: Cả hai số hạng đều bằng 0.

Tuy nhiên, vì (x – 1)^2 và (y – 1)^2 luôn không âm, nên dấu của mỗi số hạng sẽ phụ thuộc vào dấu của biến x và y.

Xét dấu của các số hạng:
– Nếu x > 0 và y > 0, thì x(y – 1)^2 \geq 0 và y(x – 1)^2 \geq 0.
– Nếu x < 0 và y < 0, thì x(y - 1)^2 \leq 0 và y(x - 1)^2 \leq 0. - Các trường hợp khác (x > 0, y < 0 hoặc x < 0, y > 0) sẽ làm phức tạp việc phân tích dấu.

Ta hãy xét trường hợp đầu tiên là thuận lợi nhất: x và y là các số nguyên dương (vì x \neq 0 và y \neq 0).

Trường hợp 1: x > 0 và y > 0

Khi đó, ta có:
y(x – 1)^2 \geq 0
x(y – 1)^2 \geq 0

Để tổng của hai biểu thức không âm bằng 0, thì mỗi biểu thức phải bằng 0.
Do đó, ta có hệ phương trình:
y(x – 1)^2 = 0
x(y – 1)^2 = 0

Từ phương trình thứ nhất, vì y > 0, nên ta phải có:
(x – 1)^2 = 0
Suy ra: x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1

Từ phương trình thứ hai, vì x > 0, nên ta phải có:
(y – 1)^2 = 0
Suy ra: y – 1 = 0 \Rightarrow y = 1

Vậy, trong trường hợp x > 0 và y > 0, ta tìm được nghiệm duy nhất là x = 1, y = 1.
Kiểm tra lại với điều kiện xác định: x = 1 \neq 0, y = 1 \neq 0. Thỏa mãn.
Kiểm tra lại với phương trình ban đầu: 1 + 1/1 + 1 + 1/1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4. Đúng.

Trường hợp 2: Xét các trường hợp x và y âm

Ta có phương trình: y(x – 1)^2 + x(y – 1)^2 = 0

Nếu x < 0 và y < 0: Ta có (x - 1)^2 > 0 và (y – 1)^2 > 0.
Do x < 0 nên y(x - 1)^2 < 0. Do y < 0 nên x(y - 1)^2 < 0. Tổng của hai số âm chắc chắn sẽ nhỏ hơn 0, không thể bằng 0. Do đó, không có nghiệm trong trường hợp x < 0 và y < 0. Trường hợp 3: Một biến dương, một biến âm

Giả sử x > 0 và y < 0. Ta có (x - 1)^2 \geq 0 và (y - 1)^2 > 0 (vì y \neq 0, nên y – 1 \neq -1, nên (y-1)^2 \neq 1).

x(y – 1)^2 \geq 0.
y(x – 1)^2 \leq 0 (vì y < 0 và (x - 1)^2 \geq 0). Để tổng của hai số hạng này bằng 0: y(x - 1)^2 + x(y - 1)^2 = 0 Nếu x = 1, thì y(1 - 1)^2 + 1(y - 1)^2 = 0 \Rightarrow 0 + (y - 1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1. Nhưng ta đang xét trường hợp y < 0, nên trường hợp này không xảy ra. Nếu y = -1 (ví dụ), và x > 0.
Phương trình trở thành:
(-1)(x – 1)^2 + x(-1 – 1)^2 = 0
-(x – 1)^2 + x(-2)^2 = 0
-(x^2 – 2x + 1) + 4x = 0
-x^2 + 2x – 1 + 4x = 0
-x^2 + 6x – 1 = 0
x^2 – 6x + 1 = 0

Phương trình này không có nghiệm nguyên (delta = 36 – 4 = 32, không phải số chính phương).

Ta có thể phân tích tiếp phương trình y(x – 1)^2 + x(y – 1)^2 = 0 như sau:
y(x^2 – 2x + 1) + x(y^2 – 2y + 1) = 0
x^2y – 2xy + y + xy^2 – 2xy + x = 0
x^2y + xy^2 + x + y – 4xy = 0

Chia cả hai vế cho xy (vì x, y khác 0):
x + y + (1/y) + (1/x) – 4 = 0
x + 1/x + y + 1/y = 4

Điều này quay lại phương trình ban đầu, cho thấy sự tương đương.

Quay lại với y(x – 1)^2 + x(y – 1)^2 = 0.
Nếu x và y có dấu khác nhau, ví dụ x > 0 và y < 0. Ta có y(x - 1)^2 = -x(y - 1)^2. Vì y < 0, vế trái là số không dương. Vì x > 0 và (y – 1)^2 > 0, vế phải là số dương.
Số không dương chỉ có thể bằng số dương khi cả hai đều bằng 0.
Điều này chỉ xảy ra khi (x – 1)^2 = 0 và x(y – 1)^2 = 0.
Nếu x(y – 1)^2 = 0 và x > 0, thì (y – 1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1. Nhưng ta đang xét y < 0, nên trường hợp này không thỏa mãn. Tương tự, nếu x < 0 và y > 0, ta cũng sẽ không tìm được nghiệm.

Bước 5: Kết luận

Dựa trên các phân tích trên, phương trình nghiệm nguyên x + 1/x + y + 1/y = 4 chỉ có một nghiệm duy nhất là x = 1 và y = 1.

Vậy, tập nghiệm nguyên của phương trình là { (1, 1) }.

Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ từng bước giải bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!