Giải Phương Trình Sau:
x³ + 8 = x² – 4
x³ + 8 = x² – 4
Chúng ta cần giải phương trình:
x³ + 8 = x² – 4
Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa phương trình về dạng bậc ba chuẩn.
Để giải phương trình bậc ba, chúng ta thường đưa tất cả các hạng tử về một vế và cho vế còn lại bằng 0.
Chuyển hạng tử x² từ vế phải sang vế trái và hạng tử -4 từ vế phải sang vế trái. Khi chuyển vế, chúng ta đổi dấu của hạng tử đó.
Ta có:
x³ – x² + 8 + 4 = 0
Bước 2: Rút gọn phương trình.
Gom các hạng tử đồng dạng lại với nhau.
x³ – x² + 12 = 0
Bước 3: Tìm cách phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc ba khác.
Phương trình của chúng ta bây giờ là: x³ – x² + 12 = 0.
Đây là một phương trình bậc ba. Cách phổ biến để giải phương trình bậc ba là tìm nghiệm nguyên (nếu có) bằng cách thử các ước của hệ số tự do. Hệ số tự do ở đây là 12. Các ước của 12 là: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Chúng ta sẽ lần lượt thử các giá trị này vào phương trình.
Thử với x = -2:
(-2)³ – (-2)² + 12 = -8 – 4 + 12 = 0.
Vậy, x = -2 là một nghiệm của phương trình.
Bước 4: Sử dụng nghiệm vừa tìm được để phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì x = -2 là một nghiệm của phương trình, nên đa thức x³ – x² + 12 chia hết cho (x – (-2)), tức là chia hết cho (x + 2).
Chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức hoặc tách hạng tử để phân tích.
Ta có thể viết lại:
x³ – x² + 12 = x³ + 2x² – 3x² – 6x + 6x + 12
= x²(x + 2) – 3x(x + 2) + 6(x + 2)
= (x + 2)(x² – 3x + 6)
Vậy phương trình ban đầu trở thành:
(x + 2)(x² – 3x + 6) = 0
Bước 5: Giải phương trình tích.
Một tích bằng 0 khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0.
Do đó, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: x + 2 = 0
Trường hợp 2: x² – 3x + 6 = 0
Bước 6: Giải từng trường hợp.
Trường hợp 1: x + 2 = 0
Đây là một phương trình bậc nhất rất đơn giản.
x = -2
Trường hợp 2: x² – 3x + 6 = 0
Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải.
Phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0.
Trong trường hợp này, a = 1, b = -3, c = 6.
Chúng ta tính biệt thức Delta (Δ) với công thức:
Δ = b² – 4ac
Δ = (-3)² – 4 1 6
Δ = 9 – 24
Δ = -15
Vì Δ < 0 (Δ = -15 < 0), phương trình bậc hai x² - 3x + 6 = 0 vô nghiệm trong tập số thực.
Bước 7: Kết luận tập nghiệm của phương trình.
Từ hai trường hợp trên, chúng ta thấy chỉ có nghiệm duy nhất là x = -2.
Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-2}.
Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải của bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(x^3+8=x^2-4\)
\(⇔x^3+2^3=x^2-2^2\)
\(⇔(x+2)(x^2-2x+4)=(x-2)(x+2)\)
\(⇔(x+2)(x^2-2x+4)-(x+2)(x-2)=0\)
\(⇔(x+2)[(x^2-2x+4)-(x-2)]=0\)
\(⇔(x+2)(x^2-2x+4-x+2)=0\)
\(⇔(x+2)(x^2-3x+6)=0\) (*)
Nhận thấy:
\(x^2-3x+6\)
\(=x^2-2.x. 3/2+9/4+15/4\)
\(=(x-3/2)^2+15/4>0\)
Suy ra
\((*)⇔x+2=0\)
\(⇔x=-2\)
Vậy PT có nghiệm \(S={-2}\)
\(x^3+8=x^2-4\)
\(<=> (x+2)(x^2-2x+4)=(x-2)(x+2)\)
\(<=> (x+2)(x^2-2x+4)-(x-2)(x+2)=0\)
\(<=> (x+2)(x^2-2x+4-x+2)=0\)
\(<=> (x+2)(x^2-3x+6)=0\)
\(<=> x+2=0\) hoặc \(x^2-3x+6=0\)
\(<=> x=-2\) hoặc \(∅\)
Vậy \(S = {-2}\)