Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác rất thú vị.
Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh ba biểu thức bằng nhau:

sin⁴a + cos⁴a = 1 – 1/2 sin² 2a = 3/4 + 1/4 cos4a

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng vế bằng nhau theo từng bước nhỏ. Cô sẽ gợi ý cho các em những công thức lượng giác quan trọng cần sử dụng nhé.

Bước 1: Chứng minh sin⁴a + cos⁴a = 1 – 1/2 sin² 2a

Chúng ta sẽ bắt đầu từ vế trái: sin⁴a + cos⁴a.

Cô có một mẹo nhỏ để xử lý lũy thừa bậc chẵn của sin và cos. Chúng ta sẽ nghĩ đến hằng đẳng thức (x + y)² = x² + 2xy + y². Ở đây, ta có thể xem sin⁴a là (sin²a)² và cos⁴a là (cos²a)².

Vậy, sin⁴a + cos⁴a = (sin²a)² + (cos²a)².

Để xuất hiện hằng đẳng thức, chúng ta sẽ thêm và bớt 2sin²a cos²a.

sin⁴a + cos⁴a = (sin²a)² + 2sin²a cos²a + (cos²a)² – 2sin²a cos²a

Bây giờ, ba số hạng đầu tiên đã tạo thành một hằng đẳng thức đáng nhớ:

(sin²a)² + 2sin²a cos²a + (cos²a)² = (sin²a + cos²a)²

Chúng ta biết một trong những công thức lượng giác cơ bản nhất: sin²x + cos²x = 1. Áp dụng vào đây, ta có:

(sin²a + cos²a)² = 1² = 1

Vậy, vế trái của chúng ta trở thành:

sin⁴a + cos⁴a = 1 – 2sin²a cos²a

Bây giờ, hãy nhìn vào phần còn lại của đẳng thức chúng ta cần chứng minh: 1 – 1/2 sin² 2a. Chúng ta thấy có sin² 2a. Điều này gợi ý chúng ta sử dụng công thức nhân đôi cho sin, đó là sin(2a) = 2sin(a)cos(a).

Nếu ta bình phương công thức này, ta được:

sin²(2a) = (2sin(a)cos(a))² = 4sin²a cos²a

Từ đó, ta có thể biểu diễn 2sin²a cos²a theo sin²(2a):

2sin²a cos²a = 1/2 sin²(2a)

Thay thế vào biểu thức của vế trái mà chúng ta đã biến đổi:

sin⁴a + cos⁴a = 1 – (1/2 sin²(2a))

Vậy là chúng ta đã chứng minh được vế đầu tiên: sin⁴a + cos⁴a = 1 – 1/2 sin² 2a.

Bước 2: Chứng minh 1 – 1/2 sin² 2a = 3/4 + 1/4 cos4a

Bây giờ, chúng ta sẽ tiếp tục với biểu thức vừa đạt được: 1 – 1/2 sin² 2a và cố gắng biến đổi nó thành 3/4 + 1/4 cos4a.

Để xử lý sin²(2a), chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc hoặc công thức liên quan đến cos của góc gấp đôi. Nhớ lại công thức cos(2x) = 1 – 2sin²x. Ta có thể suy ra 2sin²x = 1 – cos(2x), hay sin²x = (1 – cos(2x))/2.

Áp dụng công thức này với x = 2a, ta có:

sin²(2a) = (1 – cos(2 * 2a))/2 = (1 – cos(4a))/2

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức này vào phần giữa của đẳng thức:

1 – 1/2 sin² 2a = 1 – 1/2 * [(1 – cos(4a))/2]

Tiếp tục rút gọn biểu thức:

1 – 1/2 * [(1 – cos(4a))/2] = 1 – (1 – cos(4a))/4

Để tiếp tục rút gọn, chúng ta quy đồng mẫu số:

1 – (1 – cos(4a))/4 = 4/4 – (1 – cos(4a))/4

= (4 – (1 – cos(4a)))/4

= (4 – 1 + cos(4a))/4

= (3 + cos(4a))/4

Cuối cùng, chúng ta tách biểu thức này thành hai phần để có dạng mong muốn:

(3 + cos(4a))/4 = 3/4 + cos(4a)/4

= 3/4 + 1/4 cos(4a)

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh đẳng thức thứ hai: 1 – 1/2 sin² 2a = 3/4 + 1/4 cos4a.

Kết luận:

Từ hai bước trên, chúng ta đã chứng minh được:

sin⁴a + cos⁴a = 1 – 1/2 sin² 2a

và

1 – 1/2 sin² 2a = 3/4 + 1/4 cos4a

Do đó, đẳng thức lượng giác đã cho là đúng:

sin⁴a + cos⁴a = 1 – 1/2 sin² 2a = 3/4 + 1/4 cos4a

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán này! Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã ôn lại được nhiều công thức lượng giác quan trọng và rèn luyện được kỹ năng biến đổi đại số.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!