Chào các em, thầy/cô rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập này. Đây là một dạng bài tập thú vị trong chương trình Toán lớp 11, đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các công thức và có một chút quan sát tinh ý.

Chúng ta sẽ cùng nhau giải phương trình sau đây một cách thật chi tiết và dễ hiểu nhé.

BÀI GIẢI

Phương trình cần giải là:
\[ \sin(2x) – \sin(x) = 1 \]

Bước 1: Biến đổi phương trình để dễ dàng đánh giá

Thoạt nhìn, phương trình này có hai cung khác nhau là \(2x\) và \(x\), chúng ta có thể nghĩ đến việc dùng công thức nhân đôi. Tuy nhiên, nếu dùng \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), phương trình sẽ trở thành \( 2\sin(x)\cos(x) – \sin(x) – 1 = 0 \), đây là một phương trình phức tạp vì vừa chứa \(\sin(x)\) vừa chứa \(\cos(x)\).

Thay vào đó, chúng ta hãy thử một hướng tiếp cận khác. Ta sẽ biến đổi phương trình về dạng mà ta có thể so sánh giá trị của hai vế:
\[ \sin(2x) – 1 = \sin(x) \]

Bước 2: Đánh giá tập giá trị của hai vế

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất hay trong giải phương trình lượng giác, đó là phương pháp “Đánh giá”. Ta sẽ tìm tập giá trị của vế trái và vế phải.

* Xét Vế Trái (VT): \( \sin(2x) – 1 \)
Ta biết rằng hàm số sin luôn có giá trị nằm trong đoạn \( [-1, 1] \).
Tức là:
\[ -1 \le \sin(2x) \le 1 \]
Khi ta trừ 1 cho tất cả các vế, ta được:
\[ -1 – 1 \le \sin(2x) – 1 \le 1 – 1 \]
\[ -2 \le \sin(2x) – 1 \le 0 \]
Vậy, giá trị của vế trái luôn thuộc đoạn \( [-2, 0] \).

* Xét Vế Phải (VP): \( \sin(x) \)
Tương tự, ta có:
\[ -1 \le \sin(x) \le 1 \]
Vậy, giá trị của vế phải luôn thuộc đoạn \( [-1, 1] \).

Bước 3: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Phương trình \( \sin(2x) – 1 = \sin(x) \) có nghiệm khi và chỉ khi vế trái và vế phải có thể nhận cùng một giá trị.
Giá trị chung này phải vừa thuộc đoạn \( [-2, 0] \) (tập giá trị của VT), vừa thuộc đoạn \( [-1, 1] \) (tập giá trị của VP).
Giao của hai tập hợp này là đoạn \( [-1, 0] \).

Điều này có nghĩa là, nếu phương trình có nghiệm, thì nghiệm đó phải làm cho cả hai vế cùng nhận một giá trị trong đoạn \( [-1, 0] \).

Ta thấy một trường hợp đặc biệt: khi vế phải \(\sin(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(-1\), giá trị này cũng nằm trong tập giá trị của vế trái. Chúng ta hãy kiểm tra xem đây có phải là nghiệm không.

Điều này xảy ra khi cả hai vế cùng bằng \(-1\). Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases} \sin(x) = -1 \\ \sin(2x) – 1 = -1 \end{cases} \]

Bước 4: Giải hệ phương trình và kết luận

Ta sẽ giải phương trình thứ nhất của hệ trước:
\[ \sin(x) = -1 \]
Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Nghiệm của nó là:
\[ x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \]
với \( k \) là một số nguyên (\( k \in \mathbb{Z} \)).

Bây giờ, ta cần kiểm tra xem họ nghiệm này có thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ, tức là \(\sin(2x) – 1 = -1\) (hay \(\sin(2x) = 0\)) hay không.
Ta thay \( x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \) vào vế trái của phương trình \(\sin(2x) = 0\):
\[ \sin\left(2\left(-\frac{\pi}{2} + k2\pi\right)\right) = \sin(-\pi + k4\pi) \]
Vì hàm sin có chu kỳ \(2\pi\), nên \(\sin(-\pi + k4\pi) = \sin(-\pi)\).
Ta có \(\sin(-\pi) = 0\).
Như vậy, họ nghiệm \( x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \) thỏa mãn cả hai phương trình trong hệ.

Do đó, đây chính là nghiệm của phương trình ban đầu.

KẾT LUẬN

Nghiệm của phương trình \( \sin(2x) – \sin(x) = 1 \) là:
\[ x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Đây là một bài toán hay, và phương pháp đánh giá hai vế tỏ ra rất hiệu quả. Các em hãy ghi nhớ phương pháp này để áp dụng cho các bài toán tương tự nhé. Chúc các em học tốt