Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phương trình lượng giác khá thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta giải phương trình: \(sin(sin(x+pi/3))=0\).

Đây là một dạng phương trình lượng giác “lồng” vào nhau, và chúng ta sẽ giải quyết nó bằng cách đi từ lớp hàm bên ngoài vào bên trong. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước một nhé!

Lời giải chi tiết:

Để giải phương trình \(sin(sin(x+pi/3))=0\), chúng ta hãy xem biểu thức \(sin(x+pi/3)\) như một “biến” trung gian.

Bước 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản ở lớp ngoài cùng.

Phương trình có dạng \(sin(A) = 0\), với \(A = sin(x+pi/3)\).

Theo công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản \(sin(u) = 0\), ta biết rằng \(u\) phải có dạng \(kπ\), với \(k\) là một số nguyên bất kỳ.

Lý do: Hàm sin bằng 0 tại các điểm mà giá trị góc là bội số nguyên của \(π\) (ví dụ: \(0, π, 2π, -π\), …). Đây là công thức cơ bản các em đã học.

Áp dụng vào bài toán, ta có:

\[sin(x+pi/3) = k\pi\]

với \(\(k \in \mathbb{Z}\)\) (ký hiệu \(\(\mathbb{Z}\)\) chỉ tập hợp các số nguyên).

Bước 2: Xét điều kiện của biểu thức \(sin(x+pi/3)\).

Chúng ta biết rằng, giá trị của hàm số \(sin\) luôn nằm trong một khoảng cố định.

Lý do: Giá trị của \(sin(α)\) bất kỳ luôn nằm trong đoạn \([-1, 1]\). Đây là tính chất cơ bản của hàm số sin mà chúng ta đã học từ đầu chương.

Do đó, \(sin(x+pi/3)\) phải thỏa mãn điều kiện:

\[-1 \le sin(x+pi/3) \le 1\]

Từ Bước 1, chúng ta có \(sin(x+pi/3) = kπ\). Kết hợp với điều kiện trên, ta phải có:

\[-1 \le k\pi \le 1\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(k\) thỏa mãn bất đẳng thức này. Chúng ta biết \(\(\pi \approx 3.14159\)\).

• Nếu \(\(k=0\)\), thì \(\(k\pi = 0\)\) (thỏa mãn \(\(-1 \le 0 \le 1\)\)).
• Nếu \(\(k=1\)\), thì \(\(k\pi = \pi \approx 3.14\)\) (không thỏa mãn \(\(-1 \le 3.14 \le 1\)\)).
• Nếu \(\(k=-1\)\), thì \(\(k\pi = -\pi \approx -3.14\)\) (không thỏa mãn \(\(-1 \le -3.14 \le 1\)\)).
• Với các giá trị nguyên \(\(k \neq 0\)\) khác, thì \(\(|k\pi| > \pi > 1\)\), nên sẽ không thỏa mãn bất đẳng thức.

Vậy, giá trị nguyên duy nhất của \(k\) thỏa mãn điều kiện là \(\(k=0\)\).

Bước 3: Thay giá trị \(k\) vừa tìm được vào phương trình.

Với \(\(k=0\)\), phương trình \(sin(x+pi/3) = kπ\) trở thành:

\[sin(x+pi/3) = 0 \cdot \pi\]

\[sin(x+pi/3) = 0\]

Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản cuối cùng.

Đây lại là một phương trình lượng giác cơ bản dạng \(sin(u) = 0\), với \(\(u = x+pi/3\)\).

Lý do: Tương tự như Bước 1, ta áp dụng công thức nghiệm của phương trình \(sin(u) = 0\).

Ta có:

\[x+pi/3 = m\pi\]

với \(\(m \in \mathbb{Z}\)\) (một số nguyên khác, để phân biệt với \(k\) ở trên).

Bước 5: Tìm giá trị của \(x\).

Chuyển \(\(\pi/3\)\) sang vế phải, ta được nghiệm của phương trình:

\[x = m\pi – pi/3\]

với \(\(m \in \mathbb{Z}\)\).

Kết luận:

Vậy, nghiệm của phương trình \(sin(sin(x+pi/3))=0\) là:

\[x = m\pi – \frac{\pi}{3}\]

với \(\(m\)\) là số nguyên bất kỳ.

Các em nhớ nhé, khi gặp các bài toán lượng giác lồng nhau, chúng ta cứ bình tĩnh giải quyết từng lớp hàm một, và luôn nhớ đến các điều kiện xác định của từng hàm số (như miền giá trị của \(sin\) và \(cos\)) để loại bỏ các trường hợp không phù hợp. Chúc các em học tốt!