Xin chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong tiết học hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán giải phương trình khá thú vị, nằm trong chương trình Toán lớp 9 theo Sách giáo khoa mới. Bài toán của chúng ta hôm nay là:

giải pt 180/x – 180/x+5 = 2/5

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau đi vào chi tiết từng bước giải nhé!

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Để phương trình có nghĩa, mẫu số của các phân thức phải khác 0.
Ta có hai mẫu số là \(x\) và \(x + 5\).
Do đó, điều kiện xác định của phương trình là:

• \(x ≠ 0\)
• \(x + 5 ≠ 0\) hay \(x ≠ -5\)

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là \(x ≠ 0\) và \(x ≠ -5\).

Bước 2: Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình.
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, bước đầu tiên chúng ta thường làm là quy đồng mẫu số các phân thức để đưa về một phương trình tương đương không còn mẫu số nữa. Mẫu số chung nhỏ nhất của các mẫu số \(x\), \(x + 5\) và \(5\) là \(5x(x + 5)\).
Ta áp dụng quy tắc quy đồng mẫu số của các phân thức.
Vế trái của phương trình là:
\(180/x – 180/(x+5)\)
Để quy đồng phân thức thứ nhất \(180/x\), ta nhân cả tử và mẫu với \(5(x+5)\).
\(180/x = (180 5(x+5)) / (x 5(x+5)) = (900(x+5)) / (5x(x+5))\)
Để quy đồng phân thức thứ hai \(180/(x+5)\), ta nhân cả tử và mẫu với \(5x\).
\(180/(x+5) = (180 5x) / ((x+5) 5x) = (900x) / (5x(x+5))\)
Vậy, vế trái sau khi quy đồng là:
\((900(x+5)) / (5x(x+5)) – (900x) / (5x(x+5)) = (900(x+5) – 900x) / (5x(x+5))\)
Vế phải của phương trình là \(2/5\).
Để quy đồng phân thức \(2/5\), ta nhân cả tử và mẫu với \(x(x+5)\).
\(2/5 = (2 x(x+5)) / (5 x(x+5))\)
Sau khi quy đồng, phương trình trở thành:
\((900(x+5) – 900x) / (5x(x+5)) = (2 * x(x+5)) / (5x(x+5))\)

Bước 3: Khử mẫu và đưa về phương trình bậc hai.
Vì hai vế của phương trình đã có cùng mẫu số chung là \(5x(x+5)\) và chúng ta đã xác định điều kiện để mẫu số này khác 0 (\(x ≠ 0\) và \(x ≠ -5\)), nên ta có thể khử mẫu số này.
Ta cho tử số của hai vế bằng nhau:
\(900(x+5) – 900x = 2 * x(x+5)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn hai vế của phương trình:
Vế trái:
\(900x + 4500 – 900x = 4500\)
Vế phải:
\(2 * (x^2 + 5x) = 2x^2 + 10x\)
Phương trình sau khi khử mẫu và khai triển là:
\(4500 = 2x^2 + 10x\)

Để đưa về dạng phương trình bậc hai quen thuộc \(ax^2 + bx + c = 0\), ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\(2x^2 + 10x – 4500 = 0\)

Bước 4: Giải phương trình bậc hai.
Chúng ta có phương trình bậc hai: \(2x^2 + 10x – 4500 = 0\).
Để giải phương trình này, chúng ta có thể chia cả hai vế cho 2 để hệ số nhỏ hơn:
\(x^2 + 5x – 2250 = 0\)

Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, cô sẽ sử dụng công thức nghiệm.
Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -2250\).
Tính biệt thức Delta:
\(Δ = b^2 – 4ac\)
\(Δ = 5^2 – 4 1 (-2250)\)
\(Δ = 25 + 9000\)
\(Δ = 9025\)

Vì \(Δ > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ta tính căn bậc hai của Delta:
\(√Δ = √9025\)
Để tính \(√9025\), ta có thể nhẩm hoặc sử dụng máy tính. \(90^2 = 8100\), \(100^2 = 10000\). Số có tận cùng là 5, vậy nó có thể là 95.
\(95 95 = (100 – 5) (100 – 5) = 10000 – 500 – 500 + 25 = 10000 – 1000 + 25 = 9025\).
Vậy, \(√Δ = 95\).

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\(x = (-b ± √Δ) / (2a)\)

Nghiệm thứ nhất (\(x1\)):
\(x1 = (-5 + 95) / (2 * 1)\)
\(x1 = 90 / 2\)
\(x1 = 45\)

Nghiệm thứ hai (\(x2\)):
\(x2 = (-5 – 95) / (2 * 1)\)
\(x2 = -100 / 2\)
\(x2 = -50\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận.
Chúng ta đã tìm được hai nghiệm là \(x1 = 45\) và \(x2 = -50\).
Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem hai nghiệm này có thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình là \(x ≠ 0\) và \(x ≠ -5\) hay không.
Với \(x1 = 45\): \(45 ≠ 0\) và \(45 ≠ -5\). Vậy nghiệm \(x1 = 45\) thỏa mãn.
Với \(x2 = -50\): \(-50 ≠ 0\) và \(-50 ≠ -5\). Vậy nghiệm \(x2 = -50\) thỏa mãn.

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 45\) và \(x = -50\).

Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước như vậy, các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luôn ghi nhớ các bước cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu nhé: tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu số, khử mẫu, giải phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất), và cuối cùng là kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định.

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!