Chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phương trình khá thú vị. Mặc dù đề bài nhìn có vẻ hơi “nhảy múa” với các phân số, nhưng cô tin rằng với cách làm từng bước, chúng ta sẽ giải quyết nó một cách gọn gàng.
Chúng ta bắt đầu nhé!

Bước 1: Phân tích đề bài và nhận dạng dạng toán
Quan sát phương trình đã cho, ta thấy đây là một phương trình bậc nhất một ẩn. Điểm đặc biệt là ẩn ‘x’ xuất hiện ở tử số của các phân số với các mẫu số khác nhau. Việc cộng các phân số này trực tiếp sẽ rất phức tạp.
Phương trình là: \( \frac{29-x}{21} + \frac{27-x}{23} + \frac{25-x}{25} + \frac{23-x}{27} + \frac{21-x}{29} = -5 \)

Bước 2: Tìm “chiêu” để đơn giản hóa bài toán
Để các phân số có thể “gặp nhau” dễ dàng hơn, chúng ta sẽ áp dụng một kỹ thuật quen thuộc khi gặp dạng toán này: cộng thêm một số thích hợp vào mỗi phân số sao cho tử số của chúng trở nên giống nhau hoặc có một nhân tử chung.
Ở đây, ta để ý các số ở tử và mẫu số có sự chênh lệch, và số hạng tự do ở vế phải là -5.
Nếu ta cộng mỗi phân số với 1, ta sẽ có:
\( \frac{29-x}{21} + 1 = \frac{29-x+21}{21} = \frac{50-x}{21} \)
\( \frac{27-x}{23} + 1 = \frac{27-x+23}{23} = \frac{50-x}{23} \)
…
Như vậy, nếu cộng mỗi phân số với 1, ta sẽ có các tử số giống nhau là \( 50-x \).
Vì có 5 phân số, nên chúng ta sẽ cộng 5 vào vế trái.
Để phương trình không thay đổi, chúng ta cũng phải cộng 5 vào vế phải.

Bước 3: Biến đổi phương trình theo kỹ thuật đã chọn
Ta viết lại phương trình như sau:
\( (\frac{29-x}{21} + 1) + (\frac{27-x}{23} + 1) + (\frac{25-x}{25} + 1) + (\frac{23-x}{27} + 1) + (\frac{21-x}{29} + 1) = -5 + 5 \)
Thực hiện phép cộng trong từng ngoặc:
\( \frac{29-x+21}{21} + \frac{27-x+23}{23} + \frac{25-x+25}{25} + \frac{23-x+27}{27} + \frac{21-x+29}{29} = 0 \)
\( \frac{50-x}{21} + \frac{50-x}{23} + \frac{50-x}{25} + \frac{50-x}{27} + \frac{50-x}{29} = 0 \)

Bước 4: Đặt nhân tử chung
Bây giờ, ta thấy có một nhân tử chung là \( (50-x) \) xuất hiện ở tất cả các phân số. Ta sẽ đặt nhân tử chung này ra ngoài:
\( (50-x) \left( \frac{1}{21} + \frac{1}{23} + \frac{1}{25} + \frac{1}{27} + \frac{1}{29} \right) = 0 \)

Bước 5: Giải phương trình tích
Chúng ta có một phương trình tích dạng A.B = 0. Điều này có nghĩa là hoặc A = 0 hoặc B = 0.
Trường hợp 1: \( 50-x = 0 \)
Từ đây, ta suy ra \( x = 50 \).

Trường hợp 2: \( \frac{1}{21} + \frac{1}{23} + \frac{1}{25} + \frac{1}{27} + \frac{1}{29} = 0 \)
Đây là tổng của các phân số dương. Rõ ràng, tổng này không thể bằng 0 được. Nó luôn luôn là một số dương.
Do đó, trường hợp này không cho ta nghiệm.

Bước 6: Kết luận nghiệm của phương trình
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \( x = 50 \).

Kiểm tra lại (tùy chọn nhưng nên làm để chắc chắn):
Thay \( x = 50 \) vào phương trình ban đầu:
\( \frac{29-50}{21} + \frac{27-50}{23} + \frac{25-50}{25} + \frac{23-50}{27} + \frac{21-50}{29} \)
\( = \frac{-21}{21} + \frac{-23}{23} + \frac{-25}{25} + \frac{-27}{27} + \frac{-29}{29} \)
\( = -1 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) \)
\( = -5 \)
Vế trái bằng vế phải, vậy nghiệm \( x = 50 \) là chính xác.

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán! Các em thấy đó, đôi khi chỉ cần một chút sáng tạo và áp dụng đúng kỹ thuật, những bài toán trông phức tạp cũng trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Hãy luôn giữ tinh thần học hỏi và khám phá nhé!