Chào các em học sinh lớp 11 yêu quý!
Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em chinh phục một dạng bài tập quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11, đó là giải phương trình lượng giác.
Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua hai câu a) và b) nhé. Thầy/cô sẽ trình bày thật chi tiết để các em có thể nắm vững từng bước.
—
Câu a) Giải phương trình: sinx = -√2/2

Bước 1: Nhận dạng phương trình
Đây là một phương trình lượng giác cơ bản dạng sinx = a.

Bước 2: Tìm giá trị đặc biệt
Chúng ta cần tìm một góc mà giá trị sin của nó bằng -√2/2. Dựa vào vòng tròn lượng giác hoặc bảng giá trị lượng giác, ta biết rằng sin(π/4) = √2/2. Vì sin là hàm lẻ (sin(-x) = -sin(x)), nên sin(-π/4) = -√2/2.
Ngoài ra, ta cũng có thể xét góc 5π/4, vì sin(5π/4) = sin(π + π/4) = -sin(π/4) = -√2/2.
Tuy nhiên, trong cách giải tổng quát, ta thường chọn một giá trị cụ thể ban đầu và sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm sin.
Vậy, ta có thể chọn một nghiệm là x₀ = -π/4.

Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình sinx = a
Đối với phương trình sinx = a, nếu có một nghiệm x₀ (tức là sinx₀ = a), thì tập nghiệm tổng quát sẽ là:

• x = x₀ + k2π
• x = π – x₀ + k2π

trong đó k là số nguyên (k ∈ ℤ).
Lý do áp dụng công thức này là vì hàm sin có chu kỳ là 2π, nên nếu x₀ là một nghiệm, thì mọi giá trị x = x₀ + k2π cũng sẽ là nghiệm. Đồng thời, tính chất đối xứng của hàm sin qua trục tung (sin(π – x) = sinx) cho phép ta tìm thêm một họ nghiệm nữa là x = π – x₀ + k2π.

Bước 4: Thay giá trị x₀ vào công thức
Với x₀ = -π/4, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
x = -π/4 + k2π
Trường hợp 2:
x = π – (-π/4) + k2π
x = π + π/4 + k2π
x = 5π/4 + k2π

Bước 5: Kết luận
Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là:
x = -π/4 + k2π
x = 5π/4 + k2π
với k ∈ ℤ.

—
Câu b) Giải phương trình: sin4x = sinx

Bước 1: Nhận dạng phương trình
Đây là một phương trình lượng giác dạng sin A = sin B.

Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình sin A = sin B
Đối với phương trình có dạng sin A = sin B, ta có hai trường hợp:

• A = B + k2π
• A = π – B + k2π

trong đó k là số nguyên (k ∈ ℤ).
Lý do áp dụng công thức này hoàn toàn tương tự như trong câu a), dựa trên tính tuần hoàn và tính đối xứng của hàm sin.

Bước 3: Thay A và B vào công thức
Trong phương trình này, ta có A = 4x và B = x.
Trường hợp 1:
4x = x + k2π
Giải phương trình này cho x:
4x – x = k2π
3x = k2π
x = k2π/3

Trường hợp 2:
4x = π – x + k2π
Giải phương trình này cho x:
4x + x = π + k2π
5x = π + k2π
x = (π + k2π)/5
x = π/5 + k2π/5

Bước 4: Kết luận
Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là:
x = k2π/3
x = π/5 + k2π/5
với k ∈ ℤ.

—
Hy vọng với phần giải thích chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải hai dạng phương trình lượng giác này. Hãy luyện tập thêm thật nhiều để thành thạo nhé!