Kính chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán lượng giác trong chương trình Toán 11. Đây là một dạng bài rất hay, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức biến đổi và có tư duy linh hoạt trong việc lựa chọn công thức phù hợp. Hãy cùng thầy phân tích và giải bài toán sau nhé:

Đề bài: Giải phương trình sau:
\[2\cos x \cos 2x = 1 + \cos 2x + \cos 3x\]

—

Lời giải chi tiết:

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ lần lượt biến đổi các vế của phương trình để đưa về dạng cơ bản hơn.

Bước 1: Biến đổi vế trái của phương trình.

Vế trái của phương trình có dạng tích của hai hàm cosin: \(2\cos x \cos 2x\). Chúng ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Nhắc lại công thức: \(2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)\).

Áp dụng công thức này với \(A = x\) và \(B = 2x\), ta có:
\[2\cos x \cos 2x = \cos(x + 2x) + \cos(x – 2x)\]
\[= \cos 3x + \cos(-x)\]

Vì hàm cosin là hàm chẵn, nên \(\cos(-x) = \cos x\). Do đó:
\[2\cos x \cos 2x = \cos 3x + \cos x\]

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:
\[\cos 3x + \cos x = 1 + \cos 2x + \cos 3x\]

Bước 2: Rút gọn phương trình.

Quan sát phương trình mới, chúng ta thấy hạng tử \(\cos 3x\) xuất hiện ở cả hai vế. Chúng ta có thể rút gọn \(\cos 3x\) bằng cách chuyển nó sang một vế hoặc trừ cả hai vế cho \(\cos 3x\).

Thực hiện rút gọn, phương trình trở thành:
\[\cos x = 1 + \cos 2x\]

Bước 3: Áp dụng công thức nhân đôi (hạ bậc) cho \((1 + \cos 2x)\).

Cụm \((1 + \cos 2x)\) là một biểu thức rất quen thuộc. Chúng ta nhớ lại công thức nhân đôi của cosin: \(\cos 2x = 2\cos^2 x – 1\).

Từ đó, ta suy ra:
\[1 + \cos 2x = 1 + (2\cos^2 x – 1)\]
\[= 2\cos^2 x\]

Thay biểu thức này vào phương trình ở Bước 2, ta được:
\[\cos x = 2\cos^2 x\]

Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Đây là một phương trình bậc hai đối với \(\cos x\). Chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế để giải:
\[2\cos^2 x – \cos x = 0\]

Đặt nhân tử chung là \(\cos x\), ta có:
\[\cos x (2\cos x – 1) = 0\]

Phương trình này sẽ đúng khi một trong hai nhân tử bằng 0. Chúng ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\cos x = 0\)

Nghiệm của phương trình này là:
\[x = \frac{\pi}{2} + k\pi\]
với \(k\) là một số nguyên bất kỳ (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Trường hợp 2: \(2\cos x – 1 = 0\)

Giải phương trình này, ta được:
\[2\cos x = 1\]
\[\cos x = \frac{1}{2}\]
Nghiệm của phương trình này là:
\[x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\]
hoặc
\[x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi\]
với \(k\) là một số nguyên bất kỳ (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Kết luận:

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là:
\[x = \frac{\pi}{2} + k\pi\]
\[x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\]
\[x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi\]
trong đó \(k \in \mathbb{Z}\).

—

Các em thấy đó, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng nếu chúng ta nắm vững các công thức và biết cách biến đổi hợp lý, thì việc giải quyết sẽ trở nên dễ dàng. Hãy luôn nhớ ôn tập kỹ các công thức lượng giác cơ bản và công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, công thức nhân đôi, hạ bậc nhé! Chúc các em học tốt!