Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “xử lý” một bài toán phương trình lượng giác khá thú vị và đòi hỏi sự tinh tế trong việc biến đổi nhé. Đây là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán 11, đặc biệt là khi chúng ta sử dụng các công thức hạ bậc, công thức nhân đôi để đưa về cùng một biến số hoặc dễ dàng phân tích thành nhân tử.

Bài tập của chúng ta là giải phương trình:

Sin2x – Cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng dễ phân tích hơn

Quan sát phương trình, chúng ta thấy có các biểu thức \(Sin2x\), \(Cos2x\) và cả \(sinx\), \(cosx\) cùng với hằng số \((-1)\). Mục tiêu của chúng ta là đưa về cùng một loại hàm số (ví dụ: chỉ có \(sinx\) và \(cosx\) bậc nhất, hoặc chỉ có \(sinx\) và \(cosx\) và tích \(sinxcosx\)) để dễ dàng phân tích nhân tử.

Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi cho \(Cos2x\) và \(Sin2x\).

Cụ thể, ta có:

• Công thức nhân đôi: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)
• Công thức nhân đôi cho \(Cos2x\) có nhiều dạng, nhưng để kết hợp với \(3sinx\) và hằng số \(-1\) một cách hiệu quả, ta thường ưu tiên dạng có \(sin^2x\) hoặc \(cos^2x\). Ở đây, ta thấy có \(3sinx\) và \(-1\), nên việc biến đổi \(Cos2x\) thành \(1 – 2sin^2x\) sẽ giúp chúng ta có các số hạng chứa \(sin^2x\), \(sinx\) và triệt tiêu hằng số \(-1\).
• Do đó, ta chọn công thức: \( \cos 2x = 1 – 2 \sin^2 x \)

Thay các công thức này vào phương trình ban đầu, ta được:

\[ 2 \sin x \cos x – (1 – 2 \sin^2 x) + 3 \sin x – \cos x – 1 = 0 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ phá ngoặc và rút gọn các số hạng:

\[ 2 \sin x \cos x – 1 + 2 \sin^2 x + 3 \sin x – \cos x – 1 = 0 \]
\[ 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x + 3 \sin x – \cos x – 2 = 0 \]

Đây là một dạng phương trình mà chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại để tìm nhân tử chung.

Bước 2: Phân tích nhân tử

Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử có chứa \(cosx\) và các hạng tử còn lại:

Nhóm các hạng tử có \(cosx\): \( (2 \sin x \cos x – \cos x) \)

Nhóm các hạng tử còn lại: \( (2 \sin^2 x + 3 \sin x – 2) \)

Vậy phương trình trở thành:

\[ \cos x (2 \sin x – 1) + (2 \sin^2 x + 3 \sin x – 2) = 0 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung phân tích nhân tử cho biểu thức bậc hai theo \(sinx\): \( 2 \sin^2 x + 3 \sin x – 2 \).

Coi đây là một phương trình bậc hai với biến là \(sinx\). Ta có thể giải nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử (bằng cách tách hạng tử hoặc sử dụng công thức nghiệm).

Đặt \( t = \sin x \), ta có \( 2t^2 + 3t – 2 = 0 \).

Giải phương trình bậc hai này (dùng máy tính hoặc công thức nghiệm):

\( \Delta = 3^2 – 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \)

\( t = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4} \)

Ta có hai nghiệm: \( t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) và \( t_2 = \frac{-3 – 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \).

Vậy, biểu thức \( 2 \sin^2 x + 3 \sin x – 2 \) có thể phân tích thành \( 2(\sin x – \frac{1}{2})(\sin x – (-2)) \), hay \( (2 \sin x – 1)(\sin x + 2) \).

Thay kết quả này trở lại phương trình:

\[ \cos x (2 \sin x – 1) + (2 \sin x – 1)(\sin x + 2) = 0 \]

Đến đây, chúng ta thấy xuất hiện nhân tử chung là \( (2 \sin x – 1) \).

Ta đặt nhân tử chung ra ngoài:

\[ (2 \sin x – 1) [\cos x + (\sin x + 2)] = 0 \]
\[ (2 \sin x – 1) (\sin x + \cos x + 2) = 0 \]

Bước 3: Giải các phương trình cơ bản

Phương trình tích bằng không khi một trong các nhân tử bằng không. Do đó, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \( 2 \sin x – 1 = 0 \)

\[ 2 \sin x = 1 \]
\[ \sin x = \frac{1}{2} \]

Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Giá trị \( \sin x = \frac{1}{2} \) tương ứng với các góc \( \frac{\pi}{6} \) và \( \frac{5\pi}{6} \).

Vậy, ta có hai họ nghiệm:

\( x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

\( x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

Trường hợp 2: \( \sin x + \cos x + 2 = 0 \)

Để giải phương trình \( \sin x + \cos x = -2 \), chúng ta sẽ biến đổi vế trái về dạng \( R \sin(x+\alpha) \).

Ta có \( \sin x + \cos x = \sqrt{1^2 + 1^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \)

\( = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) \)

\( = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \)

Vậy, phương trình trở thành:

\[ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -2 \]
\[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{2}{\sqrt{2}} \]
\[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{2} \]

Tuy nhiên, chúng ta biết rằng giá trị của hàm số sin luôn nằm trong khoảng \( [-1; 1] \). Mà \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \), giá trị này nhỏ hơn -1.

Do đó, phương trình \( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{2} \) vô nghiệm.

Bước 4: Kết luận tập nghiệm

Tổng hợp các nghiệm từ các trường hợp, ta có tập nghiệm của phương trình là:

\[ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
\[ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Lời nhắn nhủ của thầy:

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp với nhiều loại hàm số và góc khác nhau (x và 2x) nhưng khi chúng ta áp dụng đúng công thức biến đổi và có tư duy phân tích nhân tử hợp lý, bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Hãy luôn nhớ những mẹo nhỏ như: biến đổi \(Cos2x\) để triệt tiêu hằng số, hoặc cố gắng đưa về dạng tích các nhân tử nhé! Chúc các em học tốt!