giải pt
\(3x^2-7x+1=0\)
\(3x^2-7x+1=0\)
Chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phương trình bậc hai. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta, đặc biệt là khi các em đã được học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong các bộ sách giáo khoa mới như Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều.
Đề bài: Giải phương trình \(3x^2-7x+1=0\)
Chúng ta cùng bắt đầu nhé!
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xác định dạng của phương trình và các hệ số.
Phương trình đã cho là \(3x^2-7x+1=0\). Đây là một phương trình bậc hai có dạng tổng quát là \(ax^2 + bx + c = 0\), trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các hệ số và \(a \ne 0\).
Trong phương trình này, chúng ta dễ dàng xác định được các hệ số:
- Hệ số \(a = 3\)
- Hệ số \(b = -7\)
- Hệ số \(c = 1\)
Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Đối với một phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), cách hiệu quả nhất để tìm nghiệm (đặc biệt khi việc phân tích thành nhân tử khó khăn) là sử dụng công thức nghiệm. Để làm được điều đó, chúng ta cần tính Delta (\(\Delta\)), còn gọi là biệt thức.
Lý do: Giá trị của \(\Delta\) sẽ cho chúng ta biết phương trình có bao nhiêu nghiệm và nghiệm đó như thế nào (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, hay vô nghiệm). Điều này giúp chúng ta định hướng cách tìm nghiệm chính xác.
Công thức tính biệt thức \(\Delta\) là:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Thay các giá trị \(a=3\), \(b=-7\), \(c=1\) vào công thức, ta có:
\[ \Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 \]
\[ \Delta = 49 – 12 \]
\[ \Delta = 37 \]
Bước 3: Biện luận số nghiệm của phương trình.
Chúng ta thấy rằng \(\Delta = 37\). Vì \(\Delta > 0\) (37 lớn hơn 0), điều này có nghĩa là phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.
Lý do:
- Nếu \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu \(\Delta = 0\), phương trình có nghiệm kép.
- Nếu \(\Delta < 0\), phương trình vô nghiệm.
Bước 4: Tính các nghiệm của phương trình.
Vì \(\Delta > 0\), chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm tổng quát cho trường hợp này:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Thay các giá trị \(a=3\), \(b=-7\), \(\Delta=37\) vào công thức:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3} \]
\[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{6} \]
Vậy, chúng ta có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{6} \]
\[ x_2 = \frac{7 – \sqrt{37}}{6} \]
Bước 5: Kết luận.
Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ \frac{7 + \sqrt{37}}{6}; \frac{7 – \sqrt{37}}{6} \right\}\).
Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm nhé. Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi thầy!
Đáp án:
\(x = \dfrac{7}{6}\pm\dfrac{\sqrt{37}}{6}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}\quad 3x^2 -7x + 1 =0\\ \Leftrightarrow 3\left(x^2 – 2\cdot \dfrac{7}{6}x + \dfrac{49}{36}\right)-\dfrac{37}{12} =0\\ \Leftrightarrow 3\left(x- \dfrac76\right)^2 = \dfrac{37}{12}\\ \Leftrightarrow \left(x- \dfrac76\right)^2 = \dfrac{37}{36}\\ \Leftrightarrow \left|x – \dfrac76\right| = \dfrac{\sqrt{37}}{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – \dfrac76 = \dfrac{\sqrt{37}}{6}\\x – \dfrac76 = -\dfrac{\sqrt{37}}{6}\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac76+ \dfrac{\sqrt{37}}{6}\\x = \dfrac76 -\dfrac{\sqrt{37}}{6}\end{array}\right.\\ Vậy\,\,x = \dfrac{7}{6}\pm\dfrac{\sqrt{37}}{6} \end{array}\)
\(+text( cách lớp 8)\)
\(3x^2-7x+1=0\)
\(<=>3(x^2-7/3x+1/3)=0\)
\(<=>x^2-2*7/6x+(7/6)^2-49/36+1/3=0\)
\(<=>(x-7/6)^2-37/36=0\)
\(<=>(x-7/6)^2=37/36\)
\(⇔ \left[ \begin{array}{l}x-\cfrac76=\cfrac{\sqrt{37}}6\\x-\cfrac76=\cfrac{-\sqrt{37}}6\end{array} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{array}{l}x=\cfrac{\sqrt{37}}6+\cfrac76\\x=\cfrac{-\sqrt{37}}6+\cfrac76\end{array} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{array}{l}x=\cfrac{7+\sqrt{37}}6\\x=\cfrac{7-\sqrt{37}}6\end{array} \right.\)
\(text(Vậy tập nghiệm của pt là : )S={(7+-sqrt37)/6}\)
\(text(+ cách lớp 9)\)
\(3x^2-7x+1=0\)
\(Delta’=7^2-4*3=37>0\)
\(text(vậy pt có 2 nghiệm phân biệt)\)
\(x_1=\frac{7+\sqrt{37}}6\)
\(x_2=frac{7-\sqrt{37}}6\)