Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài toán này theo từng bước nhỏ, bám sát kiến thức đã học trong sách giáo khoa nhé.

Bước 1: Phân tích thông tin đề bài và xác định các biến số.
Đề bài cho chúng ta biết các thông tin sau:
– Khi giá vé là 20 USD/người thì có trung bình 1000 người xem.
– Cứ tăng 1 USD/người thì số lượng khách hàng giảm 100 người.
– Cứ giảm 1 USD/người thì số lượng khách hàng tăng 100 người.
– Mỗi khách hàng đem lại 2 USD lợi nhuận từ các dịch vụ đi kèm.
Chúng ta cần tìm mức giá vé để nhà hát thu được lợi nhuận lớn nhất.

Bây giờ, chúng ta cần đặt các biến để biểu diễn các đại lượng này.
Gọi \(x\) là số tiền tăng (hoặc giảm) so với giá vé ban đầu là 20 USD.
– Nếu \(x > 0\), thì giá vé tăng.
– Nếu \(x < 0\), thì giá vé giảm.
– Nếu \(x = 0\), thì giá vé giữ nguyên là 20 USD.

Vậy, giá vé mới sẽ là: \(20 + x\) (USD/người).

Số lượng khách hàng sẽ thay đổi như thế nào?
– Nếu giá vé tăng 1 USD (tức là \(x=1\)), số khách hàng giảm 100.
– Nếu giá vé giảm 1 USD (tức là \(x=-1\)), số khách hàng tăng 100.
Điều này cho thấy mối quan hệ tuyến tính giữa số tiền tăng/giảm \(x\) và số lượng khách hàng.
Số lượng khách hàng ban đầu là 1000.
Với mỗi USD tăng lên của giá vé, số khách hàng giảm 100.
Vậy, với \(x\) USD tăng lên, số khách hàng giảm đi \(100x\).
Số lượng khách hàng mới sẽ là: \(1000 – 100x\) (người).

Lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm trên mỗi khách hàng là 2 USD.
Vậy, tổng lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm sẽ là: \(2 \times (1000 – 100x)\) (USD).

Tổng doanh thu từ tiền vé sẽ là: (Giá vé mới) x (Số lượng khách hàng mới)
Tổng doanh thu từ tiền vé = \((20 + x) \times (1000 – 100x)\) (USD).

Bước 2: Xây dựng hàm lợi nhuận.
Tổng lợi nhuận của nhà hát sẽ bao gồm doanh thu từ tiền vé và lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm.
Lợi nhuận \(L(x)\) = (Tổng doanh thu từ tiền vé) + (Tổng lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm).
\(L(x) = (20 + x)(1000 – 100x) + 2(1000 – 100x)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn biểu thức này để có được một hàm số theo \(x\).
\(L(x) = (20 \times 1000) – (20 \times 100x) + (x \times 1000) – (x \times 100x) + 2000 – 200x\)
\(L(x) = 20000 – 2000x + 1000x – 100x^2 + 2000 – 200x\)

Nhóm các hạng tử giống nhau:
\(L(x) = -100x^2 + (-2000x + 1000x – 200x) + (20000 + 2000)\)
\(L(x) = -100x^2 – 1200x + 22000\)

Đây là một hàm số bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = -100\), \(b = -1200\), và \(c = 22000\).
Vì hệ số \(a = -100 < 0\), đồ thị của hàm số này là một parabol có bề lõm quay xuống, nên hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Bước 3: Tìm giá trị của \(x\) để lợi nhuận lớn nhất.
Chúng ta cần tìm hoành độ đỉnh của parabol. Công thức tìm hoành độ đỉnh của hàm số bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) là:
\(x = -\frac{b}{2a}\)

Áp dụng vào hàm lợi nhuận \(L(x)\) của chúng ta:
\(x = -\frac{-1200}{2 \times (-100)}\)
\(x = -\frac{-1200}{-200}\)
\(x = -6\)

Vậy, giá trị của \(x\) để lợi nhuận là lớn nhất là -6.
\(x = -6\) có nghĩa là chúng ta cần giảm giá vé đi 6 USD so với giá vé ban đầu.

Bước 4: Xác định giá vé vào cửa để có lợi nhuận lớn nhất.
Giá vé mới = Giá vé ban đầu + \(x\)
Giá vé mới = \(20 + (-6)\)
Giá vé mới = \(20 – 6\)
Giá vé mới = \(14\) (USD/người)

Bước 5: Kiểm tra lại (Tùy chọn nhưng nên làm để chắc chắn).
Chúng ta có thể tính lợi nhuận tương ứng với giá vé 14 USD để so sánh.
Nếu giá vé là 14 USD, thì \(x = -6\).
Số lượng khách hàng = \(1000 – 100 \times (-6) = 1000 + 600 = 1600\) người.
Doanh thu từ vé = \(14 \times 1600 = 22400\) USD.
Lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm = \(2 \times 1600 = 3200\) USD.
Tổng lợi nhuận = \(22400 + 3200 = 25600\) USD.

Bây giờ, thử với một giá vé khác, ví dụ tăng giá lên 1 USD (giá vé 21 USD, \(x=1\)):
Số lượng khách hàng = \(1000 – 100 \times 1 = 900\) người.
Doanh thu từ vé = \(21 \times 900 = 18900\) USD.
Lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm = \(2 \times 900 = 1800\) USD.
Tổng lợi nhuận = \(18900 + 1800 = 20700\) USD.
Rõ ràng là lợi nhuận giảm so với khi giá vé là 14 USD.

Kết luận:
Để đạt được lợi nhuận lớn nhất, Giám đốc nhà hát nên tính giá vé vào cửa là 14 USD/người.

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải bài toán này. Việc xác định đúng các biến, xây dựng hàm số và tìm cực trị của hàm số là chìa khóa để giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Chúc các em học tốt!