Chào các em! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập rất thú vị về xác suất nhé. Bài này nằm trong chương “Xác suất” của Sách giáo khoa Toán lớp 11 của chúng ta. Các em hãy mở sách ra và theo dõi cô nhé.

Chúng ta có đề bài như sau: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
1) Cả 4 đồng xu đều ngửa
2) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa
3) Có ít nhất 2 đồng xu lật ngửa.

Để giải bài tập này, trước hết chúng ta cần xác định không gian mẫu.

Bước 1: Xác định không gian mẫu

Khi gieo một đồng xu, có hai kết quả có thể xảy ra: Ngửa (N) hoặc Sấp (S).
Vì chúng ta gieo đồng thời bốn đồng xu, mỗi đồng xu có 2 khả năng xảy ra. Do đó, tổng số kết quả có thể xảy ra khi gieo bốn đồng xu là:
Số phần tử của không gian mẫu, ký hiệu là \(n(\Omega)\), sẽ bằng \(2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4\).

Vậy, \(n(\Omega) = 16\).

Các kết quả này là đồng khả năng vì các đồng xu là cân đối đồng chất.

Bước 2: Tính xác suất cho từng biến cố

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng câu hỏi cụ thể.

Câu 1: Cả 4 đồng xu đều ngửa

Gọi biến cố A là “Cả 4 đồng xu đều ngửa”.
Để biến cố A xảy ra, cả bốn đồng xu phải cho ra kết quả Ngửa (N). Chỉ có một trường hợp duy nhất xảy ra là (N, N, N, N).
Vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(n(A) = 1\).

Xác suất của biến cố A được tính bằng công thức:
\(P(A) = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi cho A}}{\text{Tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{n(A)}{n(\Omega)}\)

Thay số vào, ta có:
\(P(A) = \frac{1}{16}\)

Câu 2: Có đúng 3 đồng xu lật ngửa

Gọi biến cố B là “Có đúng 3 đồng xu lật ngửa”.
Điều này có nghĩa là trong 4 lần gieo, có 3 lần ra mặt Ngửa (N) và 1 lần ra mặt Sấp (S).
Chúng ta cần xem có bao nhiêu cách sắp xếp 3 chữ ‘N’ và 1 chữ ‘S’.
Các trường hợp có thể xảy ra là:
(N, N, N, S)
(N, N, S, N)
(N, S, N, N)
(S, N, N, N)

Có 4 trường hợp như vậy.
Để tính số trường hợp này một cách tổng quát hơn, chúng ta có thể dùng tổ hợp. Chúng ta có 4 vị trí để gieo đồng xu, và chúng ta cần chọn 3 vị trí để có mặt Ngửa (hoặc chọn 1 vị trí để có mặt Sấp).
Số cách chọn 3 vị trí trong 4 vị trí là \(C_4^3\).
Số cách chọn 1 vị trí trong 4 vị trí là \(C_4^1\).

Ta có \(C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = 4\).
Hoặc \(C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1)} = 4\).

Vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố B là \(n(B) = 4\).

Xác suất của biến cố B được tính bằng công thức:
\(P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)}\)

Thay số vào, ta có:
\(P(B) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\)

Câu 3: Có ít nhất 2 đồng xu lật ngửa

Gọi biến cố C là “Có ít nhất 2 đồng xu lật ngửa”.
“Ít nhất 2 đồng xu lật ngửa” có nghĩa là có 2 đồng xu ngửa, hoặc 3 đồng xu ngửa, hoặc 4 đồng xu ngửa.
Chúng ta có thể tính trực tiếp hoặc sử dụng biến cố đối. Cách sử dụng biến cố đối thường sẽ nhanh hơn.

Biến cố đối của C, ký hiệu là \(\bar{C}\), là “Số đồng xu lật ngửa không đạt ít nhất 2”, tức là số đồng xu lật ngửa là 0 hoặc 1.

Chúng ta sẽ tính xác suất của \(\bar{C}\) trước.
Biến cố \(\bar{C}\) bao gồm hai trường hợp nhỏ:
– Trường hợp 1: Có đúng 0 đồng xu lật ngửa (tức là cả 4 đồng xu đều sấp). Ký hiệu là \(\bar{C}_1\).
Chỉ có 1 trường hợp xảy ra: (S, S, S, S). Vậy \(n(\bar{C}_1) = 1\).

– Trường hợp 2: Có đúng 1 đồng xu lật ngửa. Ký hiệu là \(\bar{C}_2\).
Điều này có nghĩa là có 1 đồng xu Ngửa (N) và 3 đồng xu Sấp (S).
Các trường hợp có thể xảy ra là:
(N, S, S, S)
(S, N, S, S)
(S, S, N, S)
(S, S, S, N)
Có 4 trường hợp. Hoặc dùng tổ hợp: \(C_4^1 = 4\).
Vậy \(n(\bar{C}_2) = 4\).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(\bar{C}\) là tổng số trường hợp:
\(n(\bar{C}) = n(\bar{C}_1) + n(\bar{C}_2) = 1 + 4 = 5\).

Xác suất của biến cố \(\bar{C}\) là:
\(P(\bar{C}) = \frac{n(\bar{C})}{n(\Omega)} = \frac{5}{16}\)

Vì \(C\) và \(\bar{C}\) là hai biến cố đối nhau, nên ta có mối liên hệ:
\(P(C) + P(\bar{C}) = 1\)

Do đó, xác suất của biến cố C là:
\(P(C) = 1 – P(\bar{C}) = 1 – \frac{5}{16} = \frac{16}{16} – \frac{5}{16} = \frac{11}{16}\)

Vậy, xác suất để có ít nhất 2 đồng xu lật ngửa là \(\frac{11}{16}\).

Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn về cách xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố trong các trường hợp khác nhau. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!