Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về phương trình lượng giác. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép cẩn thận nhé.

Đề bài của chúng ta là: Tìm nghiệm của phương trình cos4x – cos2x = 2.

Bước 1: Nhận dạng dạng của phương trình và áp dụng công thức.

Các em quan sát đề bài, chúng ta thấy có dạng hiệu của hai hàm cos. Trong chương trình Toán lớp 11, chúng ta đã được học công thức biến đổi hiệu thành tích. Cụ thể, công thức mà chúng ta sẽ sử dụng ở đây là:

\[ \cos A – \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \]

Áp dụng công thức này với \(A = 4x\) và \(B = 2x\), ta có:

\[ \cos 4x – \cos 2x = -2 \sin \frac{4x+2x}{2} \sin \frac{4x-2x}{2} \]
\[ = -2 \sin \frac{6x}{2} \sin \frac{2x}{2} \]
\[ = -2 \sin 3x \sin x \]

Vậy, phương trình ban đầu của chúng ta trở thành:

\[ -2 \sin 3x \sin x = 2 \]

Bước 2: Rút gọn và đưa về dạng phương trình cơ bản.

Chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho -2:

\[ \sin 3x \sin x = -1 \]

Tiếp theo, chúng ta lại tiếp tục áp dụng công thức biến đổi tích thành hiệu. Một trong các công thức đó là:

\[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) – \cos(A+B)] \]

Áp dụng công thức này với \(A = 3x\) và \(B = x\), ta có:

\[ \sin 3x \sin x = \frac{1}{2} [\cos(3x-x) – \cos(3x+x)] \]
\[ = \frac{1}{2} [\cos 2x – \cos 4x] \]

Vậy, phương trình của chúng ta giờ đây là:

\[ \frac{1}{2} [\cos 2x – \cos 4x] = -1 \]

Nhân cả hai vế với 2:

\[ \cos 2x – \cos 4x = -2 \]

Các em thấy không, chúng ta lại quay trở lại dạng ban đầu nhưng với các góc là \(2x\) và \(4x\), và vế phải là -2. Tuy nhiên, trong Sách giáo khoa, chúng ta có một nhận xét rất quan trọng về giá trị của hàm cosin.

Bước 3: Sử dụng tính chất của hàm cosin để suy luận.

Chúng ta biết rằng với mọi giá trị của \(t\), hàm cosin luôn có giá trị nằm trong khoảng [-1, 1]. Tức là:

\[ -1 \le \cos t \le 1 \]

Xét phương trình: cos2x – cos4x = -2.

Để hiệu của hai số, mỗi số đều có giá trị không vượt quá 1, bằng -2, thì hai số đó phải đạt giá trị nhỏ nhất có thể của mình. Cụ thể, chúng ta cần có:

cos2x = -1 VÀ cos4x = 1

(Hoặc ngược lại, cos2x = 1 và cos4x = -1, nhưng điều này không xảy ra vì nếu cos2x = 1 thì 2x = \(2k\pi\), suy ra 4x = \(4k\pi\), khi đó cos4x = 1, không phải -1).

Do đó, chúng ta cần giải đồng thời hai phương trình sau:

1. cos2x = -1
2. cos4x = 1

Bước 4: Giải từng phương trình và tìm điều kiện chung.

Phương trình 1: cos2x = -1

Ta biết rằng \(\cos \pi = -1\). Do đó, ta có:
\[ 2x = \pi + k2\pi \]
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]
trong đó \(k\) là số nguyên.

Phương trình 2: cos4x = 1

Ta biết rằng \(\cos 0 = 1\). Do đó, ta có:
\[ 4x = m2\pi \]
\[ x = \frac{m\pi}{2} \]
trong đó \(m\) là số nguyên.

Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị \(x\) thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện trên. Tức là, chúng ta cần tìm các số nguyên \(k\) và \(m\) sao cho:

\[ \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{m\pi}{2} \]

Chia cả hai vế cho \(\pi\) (vì \(\pi \ne 0\)):

\[ \frac{1}{2} + k = \frac{m}{2} \]

Nhân cả hai vế với 2:

\[ 1 + 2k = m \]

Điều này có nghĩa là, với mỗi số nguyên \(k\), ta sẽ có một số nguyên \(m\) tương ứng. Do đó, nghiệm của hệ phương trình này chính là tập hợp các giá trị của \(x\) được cho bởi điều kiện thứ nhất, vì điều kiện thứ hai sẽ luôn được thỏa mãn khi điều kiện thứ nhất được thỏa mãn.

Nói cách khác, nếu \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), thì:
\(2x = \pi + 2k\pi\), suy ra \(\cos 2x = \cos(\pi + 2k\pi) = \cos \pi = -1\).
\(4x = 2(\pi + 2k\pi) = 2\pi + 4k\pi\), suy ra \(\cos 4x = \cos(2\pi + 4k\pi) = \cos(2\pi) = 1\).

Vậy, hai điều kiện cos2x = -1 và cos4x = 1 là tương thích và cùng dẫn đến một họ nghiệm.

Bước 5: Kết luận.

Các nghiệm của phương trình \(\cos 4x – \cos 2x = 2\) là các giá trị của \(x\) thỏa mãn:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]
trong đó \(k\) là một số nguyên bất kỳ (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Các em có câu hỏi nào không? Nếu có, hãy mạnh dạn hỏi thầy nhé. Bài học của chúng ta hôm nay đến đây là kết thúc. Hẹn gặp lại các em ở tiết học sau!