Bài giải:

Bước 1: Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn.

Gọi thời gian Tổ 1 làm một mình hoàn thành xong công việc là \(x\) (giờ).

Gọi thời gian Tổ 2 làm một mình hoàn thành xong công việc là \(y\) (giờ).

Vì \(x\) và \(y\) là thời gian làm việc, nên điều kiện của ẩn là \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bước 2: Biểu diễn năng suất (phần việc làm được trong một đơn vị thời gian) của mỗi tổ.

– Trong 1 giờ, Tổ 1 làm được \(\frac{1}{x}\) (phần công việc).

– Trong 1 giờ, Tổ 2 làm được \(\frac{1}{y}\) (phần công việc).

Bước 3: Lập hệ phương trình dựa trên các giả thiết của bài toán.

Theo đề bài, ta có các thông tin sau:

Thông tin thứ nhất: “Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định.”

– Trong 1 giờ, cả hai tổ làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (phần công việc).

– Vì làm chung trong 12 giờ thì hoàn thành xong công việc (tức là hoàn thành 1 phần công việc), nên ta có phương trình:

\[12 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1\]

Hay:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \quad (1)\]

Thông tin thứ hai: “Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ 1 được điều đi làm việc khác, tổ 2 làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ.”

– Trong 4 giờ làm chung, cả hai tổ làm được: \(4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\) (phần công việc).

– Sau đó, Tổ 2 làm một mình trong 10 giờ, vậy Tổ 2 làm được: \(10 \cdot \frac{1}{y}\) (phần công việc).

– Tổng phần công việc mà cả hai tổ đã làm chính là 1 (hoàn thành xong công việc). Vậy ta có phương trình:

\[4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 10 \cdot \frac{1}{y} = 1 \quad (2)\]

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ 4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + \frac{10}{y} = 1 \end{cases}\]

Bước 4: Giải hệ phương trình.

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế.

Thay phương trình (1) vào phương trình (2), ta được:

\[4 \cdot \frac{1}{12} + \frac{10}{y} = 1\]

\[\frac{4}{12} + \frac{10}{y} = 1\]

\[\frac{1}{3} + \frac{10}{y} = 1\]

Chuyển \(\frac{1}{3}\) sang vế phải:

\[\frac{10}{y} = 1 – \frac{1}{3}\]

\[\frac{10}{y} = \frac{3}{3} – \frac{1}{3}\]

\[\frac{10}{y} = \frac{2}{3}\]

Để tìm \(y\), ta nhân chéo:

\[2y = 10 \cdot 3\]

\[2y = 30\]

\[y = \frac{30}{2}\]

\[y = 15\]

Giá trị \(y = 15\) thỏa mãn điều kiện \(y > 0\).

Vậy thời gian Tổ 2 làm một mình hoàn thành công việc là 15 giờ.

Nếu muốn tìm thời gian của Tổ 1, ta thay \(y = 15\) vào phương trình (1):

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{15} = \frac{1}{12}\]

\[\frac{1}{x} = \frac{1}{12} – \frac{1}{15}\]

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 12 và 15 là 60.

\[\frac{1}{x} = \frac{5}{60} – \frac{4}{60}\]

\[\frac{1}{x} = \frac{1}{60}\]

\[x = 60\]

Giá trị \(x = 60\) thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).

Vậy thời gian Tổ 1 làm một mình hoàn thành công việc là 60 giờ.

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả (không bắt buộc phải ghi vào bài làm chính thức nhưng rất quan trọng để đảm bảo tính đúng đắn).

– Nếu Tổ 1 làm 60 giờ, Tổ 2 làm 15 giờ.

– Cả hai tổ làm chung 1 giờ: \(\frac{1}{60} + \frac{1}{15} = \frac{1}{60} + \frac{4}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}\) công việc.

– Vậy làm chung 12 giờ thì hoàn thành \(\frac{1}{12} \cdot 12 = 1\) công việc (đúng với giả thiết đầu).

– Làm chung 4 giờ: \(4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{3}\) công việc.

– Phần việc còn lại: \(1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) công việc.

– Tổ 2 làm nốt \(\frac{2}{3}\) công việc này. Năng suất của Tổ 2 là \(\frac{1}{15}\) công việc/giờ.

– Thời gian Tổ 2 làm nốt: \(\frac{2/3}{1/15} = \frac{2}{3} \cdot 15 = 2 \cdot 5 = 10\) giờ (đúng với giả thiết sau).

Các kết quả đều khớp với đề bài.

Bước 6: Trả lời.

Vậy, nếu Tổ 2 làm một mình thì sau 15 giờ sẽ hoàn thành xong công việc.