Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài tập vectơ rất cơ bản nhưng lại vô cùng quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta. Bài tập này giúp các em củng cố vững chắc quy tắc cộng vectơ và hiểu rõ hơn về tính chất của trung điểm đoạn thẳng trong hình học vectơ.

Chúng ta cần chứng minh đẳng thức vectơ sau: \[ \text{VECTO MA} + \text{VECTO MB} = 2\text{VECTO MI} \]

Để chứng minh đẳng thức vectơ này, trước hết chúng ta cần hiểu rõ các đại lượng trong đó.

Chúng ta giả sử:

• M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng hoặc không gian.
• A và B là hai điểm phân biệt cho trước.
• I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Bây giờ, chúng ta sẽ bắt tay vào chứng minh từng bước một.

Bước 1: Phân tích các vectơ ở vế trái của đẳng thức.

Vế trái của đẳng thức là tổng của hai vectơ: \(\text{VECTO MA}\) và \(\text{VECTO MB}\).

Mục tiêu của chúng ta là biến đổi vế trái này để nó trở thành \(\text{2VECTO MI}\). Nhận thấy rằng vectơ \(\text{MI}\) xuất hiện ở vế phải, điều này gợi ý chúng ta nên “chèn” điểm I vào các vectơ ở vế trái.

Bước 2: Áp dụng Quy tắc ba điểm (quy tắc chèn điểm) để biểu diễn VECTO MA và VECTO MB qua VECTO MI.

Theo Quy tắc ba điểm, với ba điểm M, I, A bất kỳ, ta luôn có:
\[ \text{VECTO MA} = \text{VECTO MI} + \text{VECTO IA} \]
Tương tự, với ba điểm M, I, B bất kỳ, ta có:
\[ \text{VECTO MB} = \text{VECTO MI} + \text{VECTO IB} \]
Hai công thức này là nền tảng để chúng ta tiếp tục biến đổi.

Bước 3: Thay thế các biểu thức vừa tìm được vào vế trái của đẳng thức cần chứng minh.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(\text{VECTO MA}\) và \(\text{VECTO MB}\) bằng các biểu thức có chứa \(\text{VECTO MI}\):
\[ \text{VECTO MA} + \text{VECTO MB} = (\text{VECTO MI} + \text{VECTO IA}) + (\text{VECTO MI} + \text{VECTO IB}) \]

Bước 4: Nhóm các vectơ lại và rút gọn.

Từ đẳng thức trên, chúng ta có thể nhóm các vectơ giống nhau và các vectơ còn lại:
\[ \text{VECTO MA} + \text{VECTO MB} = \text{VECTO MI} + \text{VECTO MI} + \text{VECTO IA} + \text{VECTO IB} \]
Rút gọn các vectơ \(\text{MI}\):
\[ \text{VECTO MA} + \text{VECTO MB} = 2\text{VECTO MI} + (\text{VECTO IA} + \text{VECTO IB}) \]

Bước 5: Sử dụng tính chất của trung điểm I.

Đây là bước quan trọng nhất. Chúng ta biết rằng I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Khi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì hai vectơ \(\text{VECTO IA}\) và \(\text{VECTO IB}\) có các đặc điểm sau:

• Cùng phương (cùng nằm trên đường thẳng AB).
• Ngược chiều (từ I đến A và từ I đến B là hai hướng đối nhau).
• Cùng độ dài (vì I là trung điểm nên \(IA = IB\)).

Do đó, theo định nghĩa hai vectơ đối nhau, \(\text{VECTO IA}\) và \(\text{VECTO IB}\) là hai vectơ đối nhau.

Tổng của hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ không.
\[ \text{VECTO IA} + \text{VECTO IB} = \text{VECTO 0} \]

Bước 6: Hoàn tất chứng minh.

Bây giờ chúng ta thay kết quả của Bước 5 vào đẳng thức ở Bước 4:
\[ \text{VECTO MA} + \text{VECTO MB} = 2\text{VECTO MI} + \text{VECTO 0} \]
\[ \text{VECTO MA} + \text{VECTO MB} = 2\text{VECTO MI} \]

Vậy là chúng ta đã chứng minh được đẳng thức.

Kết luận:
Đẳng thức \[ \text{VECTO MA} + \text{VECTO MB} = 2\text{VECTO MI} \] đã được chứng minh.

Đây là một công thức rất hữu ích trong việc giải các bài toán vectơ liên quan đến trung điểm. Các em cần ghi nhớ thật kỹ công thức này và quy trình chứng minh nó nhé! Nó sẽ giúp ích rất nhiều trong các bài tập sau này.

Chúc các em học tốt!