Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 10, đó là viết phương trình đường tròn khi biết đường kính của nó. Đây là một dạng bài tập cơ bản nhưng lại rất quan trọng, giúp các em nắm vững kiến thức về phương trình đường tròn.

Chúng ta sẽ giải bài tập sau:
Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(4, −1); B(3, 5).

Để viết được phương trình đường tròn, chúng ta cần xác định hai yếu tố chính:

1. Tọa độ tâm của đường tròn.
2. Bán kính của đường tròn.

Với đề bài cho biết AB là đường kính, chúng ta có thể suy ra ngay cách tìm hai yếu tố này. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm tọa độ tâm I của đường tròn.

Vì đoạn thẳng AB là đường kính của đường tròn, nên tâm I của đường tròn chính là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Để tìm tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng khi biết tọa độ hai đầu mút, chúng ta sử dụng công thức sau:

Nếu \(A(x_A, y_A)\) và \(B(x_B, y_B)\), thì tọa độ trung điểm \(I(x_I, y_I)\) được tính bằng:
\[x_I = \frac{x_A + x_B}{2}\]
\[y_I = \frac{y_A + y_B}{2}\]
Áp dụng vào bài toán của chúng ta với \(A(4, -1)\) và \(B(3, 5)\), ta có:

Tọa độ hoành độ của tâm I là:
\[x_I = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2}\]
Tọa độ tung độ của tâm I là:
\[y_I = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
Vậy, tọa độ tâm I của đường tròn là \(\left(\frac{7}{2}, 2\right)\).

Bước 2: Tính bán kính R của đường tròn.

Có hai cách để tính bán kính R:

Cách 1: Bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến một trong hai điểm A hoặc B.

Cách 2: Bán kính R bằng một nửa độ dài đường kính AB.

Thầy sẽ chọn cách 1, tính khoảng cách từ tâm I đến điểm A để tìm bán kính R (hoặc \(R^2\) để tiện cho việc viết phương trình).

Công thức tính bình phương khoảng cách giữa hai điểm \(P(x_1, y_1)\) và \(Q(x_2, y_2)\) là:
\[PQ^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2\]
Chúng ta sẽ tính \(R^2 = IA^2\). Với \(I\left(\frac{7}{2}, 2\right)\) và \(A(4, -1)\), ta có:
\[R^2 = \left(4 – \frac{7}{2}\right)^2 + (-1 – 2)^2\]
\[R^2 = \left(\frac{8}{2} – \frac{7}{2}\right)^2 + (-3)^2\]
\[R^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 9\]
\[R^2 = \frac{1}{4} + 9\]
Để cộng hai số này, chúng ta quy đồng mẫu số:
\[R^2 = \frac{1}{4} + \frac{36}{4}\]
\[R^2 = \frac{37}{4}\]
Vậy, bình phương bán kính của đường tròn là \(\frac{37}{4}\).

Bước 3: Viết phương trình đường tròn.

Phương trình đường tròn có tâm \(I(a, b)\) và bán kính \(R\) có dạng tổng quát là:
\[(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2\]
Trong bài toán này, chúng ta đã tìm được tâm \(I\left(\frac{7}{2}, 2\right)\), vậy \(a = \frac{7}{2}\) và \(b = 2\).

Chúng ta cũng đã tính được \(R^2 = \frac{37}{4}\).

Thay các giá trị này vào công thức tổng quát của phương trình đường tròn, ta được:
\[\left(x – \frac{7}{2}\right)^2 + (y – 2)^2 = \frac{37}{4}\]
Đây chính là phương trình đường tròn cần tìm.

Kết luận:

Vậy, phương trình đường tròn đường kính AB với A(4, −1) và B(3, 5) là:
\[\left(x – \frac{7}{2}\right)^2 + (y – 2)^2 = \frac{37}{4}\]

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách làm bài tập dạng này. Hãy luyện tập thêm để thành thạo nhé! Chúc các em học tốt!