Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phương trình lượng giác khá thú vị trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta. Bài toán này liên quan đến các công thức lượng giác cơ bản, mà các em đã được làm quen.

Trước khi bắt đầu, các em hãy nhớ lại một số công thức quan trọng nhé:
– Công thức cộng: \( \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \)
– Công thức nhân đôi: \( \sin(2a) = 2 \sin a \cos a \)
– Công thức hạ bậc: \( \sin^2 a = \frac{1 – \cos(2a)}{2} \), \( \cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \)
– Các hằng đẳng thức đáng nhớ: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào bài toán cụ thể:
Giải phương trình: \( \sin x + \cos x – 1 = 2 \sin x \cos x \)

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Các em quan sát vế phải của phương trình, ta thấy có dạng \( 2 \sin x \cos x \). Chúng ta biết rằng \( 2 \sin x \cos x = \sin(2x) \). Tuy nhiên, vế trái lại có \( \sin x + \cos x \). Để có thể đưa về một phương trình theo một ẩn mới, chúng ta hãy thử đặt ẩn phụ cho biểu thức \( \sin x + \cos x \).

Đặt \( t = \sin x + \cos x \).

Bước 2: Biểu diễn \( \sin x \cos x \) theo ẩn phụ \( t \)

Bây giờ, chúng ta cần tìm cách biểu diễn \( \sin x \cos x \) theo \( t \).
Ta có:
\( t^2 = (\sin x + \cos x)^2 \)
\( t^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x \)
Nhớ lại công thức lượng giác cơ bản \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), ta thay vào:
\( t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x \)

Từ đây, ta dễ dàng suy ra biểu thức của \( 2 \sin x \cos x \):
\( 2 \sin x \cos x = t^2 – 1 \)

Vậy, \( \sin x \cos x = \frac{t^2 – 1}{2} \).

Bước 3: Thay ẩn phụ vào phương trình ban đầu

Bây giờ, chúng ta thay \( \sin x + \cos x = t \) và \( \sin x \cos x = \frac{t^2 – 1}{2} \) vào phương trình ban đầu:
\( \sin x + \cos x – 1 = 2 \sin x \cos x \)
trở thành:
\( t – 1 = 2 \left( \frac{t^2 – 1}{2} \right) \)
\( t – 1 = t^2 – 1 \)

Bước 4: Giải phương trình theo ẩn phụ \( t \)

Chúng ta có phương trình mới:
\( t – 1 = t^2 – 1 \)
Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
\( t^2 – t = 0 \)
Đặt nhân tử chung \( t \):
\( t(t – 1) = 0 \)

Phương trình này cho ta hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( t = 0 \)
Trường hợp 2: \( t – 1 = 0 \Rightarrow t = 1 \)

Bước 5: Tìm lại biến \( x \) từ các giá trị của \( t \)

Bây giờ, chúng ta quay trở lại với từng giá trị của \( t \) để tìm \( x \).

Trường hợp 1: \( t = 0 \)
Ta có: \( \sin x + \cos x = 0 \)
Để giải phương trình này, chúng ta có thể chia cả hai vế cho \( \cos x \). Tuy nhiên, trước hết, ta cần kiểm tra xem \( \cos x = 0 \) có là nghiệm của phương trình hay không.
Nếu \( \cos x = 0 \), thì \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \). Khi đó, \( \sin x = \pm 1 \).
Thay vào \( \sin x + \cos x = 0 \), ta có \( \pm 1 + 0 = 0 \), điều này sai.
Vậy \( \cos x \neq 0 \). Ta có thể chia cả hai vế cho \( \cos x \):
\( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 \)
\( \tan x + 1 = 0 \)
\( \tan x = -1 \)
Phương trình này có nghiệm là:
\( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \)

Trường hợp 2: \( t = 1 \)
Ta có: \( \sin x + \cos x = 1 \)
Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp chia hai vế cho \( \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).
Chia cả hai vế cho \( \sqrt{2} \):
\( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Nhớ lại công thức \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Ta có thể viết lại phương trình như sau:
\( \cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Sử dụng công thức cộng \( \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \):
\( \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Phương trình này có nghiệm là:
\( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) hoặc \( x + \frac{\pi}{4} = \pi – \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)
\( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) \( \Rightarrow \) \( x = 2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \)
\( x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{3\pi}{4} – \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{2\pi}{4} + 2k\pi \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \)

Bước 6: Kết luận nghiệm của phương trình

Tổng hợp tất cả các nghiệm tìm được từ hai trường hợp, ta có tập nghiệm của phương trình là:
\( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \)
\( x = 2k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
với \( k \) là số nguyên bất kỳ.

Các em thân mến, bài toán hôm nay đã giúp chúng ta ôn lại cách đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác và sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Các em hãy xem lại từng bước, cố gắng tự mình làm lại bài tập này để nắm vững hơn kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!