Xin chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thuộc dạng toán năng suất rất quen thuộc, thường xuất hiện trong chương trình sách giáo khoa mới, đặc biệt là các bộ sách như Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều. Bài toán này giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng đặt ẩn phụ, lập phương trình và giải phương trình bậc hai.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bước 1: Xác định ẩn và các đại lượng trong bài toán

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm thời gian để mỗi đội hoàn thành công việc nếu làm riêng. Do đó, cô sẽ đặt ẩn cho đại lượng này.

Gọi x (ngày) là thời gian đội 1 hoàn thành công việc khi làm riêng.

Theo đề bài, đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 6 ngày. Điều này có nghĩa là thời gian đội 2 hoàn thành công việc khi làm riêng sẽ lâu hơn đội 1 là 6 ngày.

Vậy, thời gian đội 2 hoàn thành công việc khi làm riêng là x + 6 (ngày).

Lưu ý: Vì x là thời gian, nên điều kiện là x > 0.

Bước 2: Biểu diễn năng suất của mỗi đội và năng suất chung

Năng suất của một đội được hiểu là phần công việc mà đội đó hoàn thành trong một ngày.

Nếu đội 1 hoàn thành công việc trong x ngày, thì trong 1 ngày, đội 1 hoàn thành được 1/x (công việc). Đây chính là năng suất của đội 1.

Tương tự, nếu đội 2 hoàn thành công việc trong x + 6 ngày, thì trong 1 ngày, đội 2 hoàn thành được 1/(x+6) (công việc). Đây là năng suất của đội 2.

Khi cả hai đội cùng làm, họ hoàn thành công việc trong 4 ngày. Điều này có nghĩa là trong 1 ngày, cả hai đội hoàn thành được 1/4 (công việc). Đây là năng suất chung của hai đội.

Giải thích: Chúng ta sử dụng quy tắc “một đơn vị công việc” để tính năng suất. Nếu một người (hoặc một đội) hoàn thành toàn bộ công việc trong N ngày, thì mỗi ngày họ hoàn thành được 1/N công việc.

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ năng suất

Tổng năng suất của hai đội khi làm riêng bằng năng suất của họ khi làm chung.

Ta có phương trình:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4} \)

Giải thích: Phương trình này thể hiện mối liên hệ giữa năng suất của từng đội và năng suất chung. Năng suất của đội 1 cộng với năng suất của đội 2 sẽ bằng năng suất của cả hai đội khi làm việc cùng nhau.

Bước 4: Giải phương trình bậc hai và kiểm tra điều kiện

Để giải phương trình trên, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số và đưa về dạng phương trình bậc hai quen thuộc.

Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình:
\( \frac{(x+6) + x}{x(x+6)} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{2x+6}{x^2+6x} = \frac{1}{4} \)

Nhân chéo hai vế:
\( 4(2x+6) = 1(x^2+6x) \)
\( 8x + 24 = x^2 + 6x \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:
\( x^2 + 6x – 8x – 24 = 0 \)
\( x^2 – 2x – 24 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này. Cô có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, cô sẽ phân tích thành nhân tử cho nhanh.

Tìm hai số có tích bằng -24 và tổng bằng -2. Hai số đó là -6 và 4.
\( x^2 – 6x + 4x – 24 = 0 \)
\( x(x-6) + 4(x-6) = 0 \)
\( (x-6)(x+4) = 0 \)

Từ đây, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( x – 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \)
Trường hợp 2: \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)

Giải thích: Phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm, một nghiệm, hoặc vô nghiệm. Chúng ta giải phương trình này để tìm các giá trị có thể của x.

Bước 5: Kiểm tra điều kiện của ẩn và kết luận

Chúng ta đã đặt điều kiện cho x là x > 0 (vì x là thời gian làm việc).

Xét hai nghiệm tìm được:
– Với \( x = 6 \): Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \( x > 0 \).
– Với \( x = -4 \): Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện \( x > 0 \). Do đó, chúng ta loại nghiệm này.

Vậy, thời gian đội 1 hoàn thành công việc khi làm riêng là 6 ngày.

Thời gian đội 2 hoàn thành công việc khi làm riêng là \( x + 6 = 6 + 6 = 12 \) ngày.

Bước 6: Trình bày kết quả cuối cùng

Nếu làm riêng, đội 1 phải mất 6 ngày để xong công việc.
Nếu làm riêng, đội 2 phải mất 12 ngày để xong công việc.

Chúng ta có thể thử lại để chắc chắn:
Năng suất đội 1 là \( \frac{1}{6} \) công việc/ngày.
Năng suất đội 2 là \( \frac{1}{12} \) công việc/ngày.
Năng suất chung là \( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \) công việc/ngày.
Thời gian để hoàn thành công việc khi làm chung là \( \frac{1}{1/4} = 4 \) ngày. Điều này khớp với đề bài.

Hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước, các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chúc các em học tốt môn Toán!