Chào các em, thầy là giáo viên Toán lớp 9. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất hay, dạng toán hỗn hợp thường gặp trong các kỳ thi. Đây là dạng bài “giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”, một chuyên đề quan trọng của chương trình học kỳ II.

Chúng ta sẽ đi từng bước thật cẩn thận để các em có thể hiểu rõ và áp dụng cho các bài toán tương tự nhé.

Bài giải chi tiết

Bước 1: Phân tích bài toán, đặt ẩn và tìm điều kiện cho ẩn.

Bài toán yêu cầu chúng ta tính khối lượng của mỗi loại quặng. Vì có hai loại quặng nên chúng ta sẽ đặt hai ẩn.

Gọi khối lượng của loại quặng chứa 75% sắt là \(x\) (tấn).
Gọi khối lượng của loại quặng chứa 50% sắt là \(y\) (tấn).

Vì khối lượng phải là một số dương, ta có điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bước 2: Lập phương trình thứ nhất dựa trên tổng khối lượng.

Theo đề bài, chúng ta cần trộn để được 25 tấn quặng. Điều này có nghĩa là tổng khối lượng của hai loại quặng ban đầu phải bằng 25 tấn.
Từ đó, ta có phương trình thứ nhất:
\[x + y = 25 \quad (1)\]

Bước 3: Lập phương trình thứ hai dựa trên khối lượng sắt nguyên chất.

Đây là mấu chốt của bài toán. Chúng ta sẽ tính khối lượng sắt có trong mỗi loại quặng và trong hỗn hợp cuối cùng.

– Khối lượng sắt nguyên chất có trong \(x\) tấn quặng loại 1 là:
\(75\% \cdot x = 0.75x\) (tấn).

– Khối lượng sắt nguyên chất có trong \(y\) tấn quặng loại 2 là:
\(50\% \cdot y = 0.5y\) (tấn).

– Hỗn hợp sau khi trộn nặng 25 tấn và chứa 66% sắt. Vậy, tổng khối lượng sắt nguyên chất trong hỗn hợp là:
\(66\% \cdot 25 = 0.66 \cdot 25 = 16.5\) (tấn).

Tổng khối lượng sắt trong hai loại quặng ban đầu chính là tổng khối lượng sắt trong hỗn hợp. Vì vậy, ta có phương trình thứ hai:
\[0.75x + 0.5y = 16.5 \quad (2)\]

Bước 4: Lập hệ phương trình và giải hệ phương trình.

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:
\[
\begin{cases}
x + y = 25 \\
0.75x + 0.5y = 16.5
\end{cases}
\]
Để giải hệ này, chúng ta có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, thầy sẽ hướng dẫn các em dùng phương pháp thế vì nó rất trực quan.

Từ phương trình (1), ta rút \(y\) theo \(x\):
\[y = 25 – x\]
Bây giờ, ta thế biểu thức này vào phương trình (2):
\[0.75x + 0.5(25 – x) = 16.5\]
Tiếp theo, ta giải phương trình này để tìm \(x\):
\[0.75x + 12.5 – 0.5x = 16.5\]
\[(0.75 – 0.5)x = 16.5 – 12.5\]
\[0.25x = 4\]
\[x = 4 \div 0.25\]
\[x = 16\]
Sau khi tìm được \(x = 16\), ta tìm \(y\) bằng cách thế giá trị của \(x\) vào biểu thức \(y = 25 – x\):
\[y = 25 – 16\]
\[y = 9\]

Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Ta thấy \(x = 16\) và \(y = 9\) đều là các số dương, thỏa mãn điều kiện \(x > 0, y > 0\) mà chúng ta đã đặt ra ở đầu bài.

Vậy, chúng ta có thể kết luận:

Khối lượng quặng loại 1 (chứa 75% sắt) cần trộn là 16 tấn.
Khối lượng quặng loại 2 (chứa 50% sắt) cần trộn là 9 tấn.

Các em thấy không, chỉ cần chúng ta phân tích kỹ đề bài và đi theo đúng các bước thì bài toán sẽ trở nên rất đơn giản. Chúc các em học tốt