Đây là một câu hỏi rất hay và thường gặp khi chúng ta bắt đầu khảo sát hàm số, đặc biệt là các hàm phân thức. Với vai trò là giáo viên của các em, thầy sẽ giải đáp cặn kẽ và chi tiết câu hỏi này dựa trên kiến thức Sách giáo khoa Toán 12 của chúng ta nhé.

Để trả lời dứt khoát cho câu hỏi này: Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị.

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh điều này một cách bài bản, từng bước một.

Bước 1: Xét dạng tổng quát của hàm số

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng tổng quát là:
\[ y = \frac{ax + b}{cx + d} \]
Để hàm số này tồn tại và là hàm phân thức đúng nghĩa (không phải hàm hằng hay hàm bậc nhất), chúng ta cần có các điều kiện sau:

• \( c \neq 0 \) (Để mẫu số có chứa biến x)
• \( ad – bc \neq 0 \) (Nếu \(ad – bc = 0\), hàm số sẽ suy biến thành hàm hằng, các em có thể tự kiểm tra lại điều này)

Tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{d}{c}\} \).

Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số

Theo quy tắc tìm cực trị, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm bậc nhất \(y’\). Chúng ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của một thương \(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\):

\[ y’ = \frac{(ax+b)'(cx+d) – (ax+b)(cx+d)’}{(cx+d)^2} \]
\[ y’ = \frac{a(cx+d) – c(ax+b)}{(cx+d)^2} \]
\[ y’ = \frac{acx + ad – acx – bc}{(cx+d)^2} \]
\[ y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2} \]

Bước 3: Phân tích dấu của đạo hàm \(y’\)

Bây giờ chúng ta hãy nhìn thật kỹ vào biểu thức đạo hàm vừa tìm được:
\[ y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2} \]
Ta có thể nhận thấy hai điều rất quan trọng:

1. Mẫu số: \((cx + d)^2\). Vì đây là một biểu thức bình phương nên \((cx + d)^2 > 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định (tức là \(x \neq -\frac{d}{c}\)).
2. Tử số: \(ad – bc\). Đây là một hằng số. Theo điều kiện ta đã đặt ra ở Bước 1, hằng số này khác 0 (\(ad – bc \neq 0\)).

Từ hai nhận xét trên, ta thấy rằng dấu của \(y’\) hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của hằng số \(ad – bc\). Sẽ chỉ có hai trường hợp xảy ra:

• Trường hợp 1: Nếu \(ad – bc > 0\).
  
  Khi đó, \(y’ = \frac{\text{số dương}}{\text{số dương}} > 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
  
  Điều này có nghĩa là hàm số luôn đồng biến (luôn đi lên) trên từng khoảng xác định của nó, là các khoảng \( (-\infty; -\frac{d}{c}) \) và \( (-\frac{d}{c}; +\infty) \).
• Trường hợp 2: Nếu \(ad – bc < 0\).
  Khi đó, \(y’ = \frac{\text{số âm}}{\text{số dương}} < 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
  Điều này có nghĩa là hàm số luôn nghịch biến (luôn đi xuống) trên từng khoảng xác định của nó, là các khoảng \( (-\infty; -\frac{d}{c}) \) và \( (-\frac{d}{c}; +\infty) \).

Bước 4: Kết luận

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa về điểm cực trị: “Hàm số đạt cực trị tại điểm \(x_0\) nếu đạo hàm \(y’\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \(x_0\)”.

Trong cả hai trường hợp ta vừa xét, dấu của \(y’\) là không đổi trên toàn bộ tập xác định. Nó hoặc luôn dương, hoặc luôn âm. Đạo hàm \(y’\) không bao giờ bằng 0 (vì tử số \(ad – bc \neq 0\)) và cũng không bao giờ đổi dấu.

Vì đạo hàm không đổi dấu, nên hàm số không thể có điểm cực đại hay điểm cực tiểu.

Ví dụ minh họa:

Xét hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x – 3} \).

• Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{3\} \).
• Tính đạo hàm:
  \[ y’ = \frac{2(x-3) – 1(2x+1)}{(x-3)^2} = \frac{2x – 6 – 2x – 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2} \]
• Nhận xét: Vì \((x-3)^2 > 0\) với mọi \(x \neq 3\), nên \(y’ = \frac{-7}{(x-3)^2} < 0\) với mọi \(x \neq 3\).
• Kết luận: Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; 3)\) và \((3; +\infty)\). Do đó, hàm số này không có cực trị.

Tổng kết lại:
Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{ax+b}{cx+d}\) (với \(c \neq 0\) và \(ad-bc \neq 0\)) là một hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó (hoặc luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến). Chính vì tính chất đơn điệu này mà nó không có điểm cực trị.

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ và nhớ lâu kiến thức quan trọng này. Đây là một “tính chất nhận dạng” rất nhanh khi làm bài tập trắc nghiệm.

Chúc các em học tốt