Chào các em! Cô là giáo viên dạy Toán lớp 11 đây. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một câu hỏi về hàm số lượng giác, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình của chúng ta.

Câu hỏi của chúng ta là: Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào?
Và chúng ta có các đáp án:
a. \(((5pi)/4;(7pi)/4)\)
b. \(((7pi)/4;3pi)\)
c. \(((7pi)/4;(9pi)/4)\)
d. \(((9pi)/4;(11pi)/4)\)

Để làm được bài này, chúng ta cần nhớ lại kiến thức về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = sin x.

Bước 1: Nhớ lại điều kiện đồng biến của hàm số y = sin x

Dựa vào đồ thị hàm số sin x hoặc dựa vào đạo hàm, chúng ta biết rằng hàm số y = sin x đồng biến trên các khoảng có dạng:
\[
k2\pi – \frac{\pi}{2} \le x \le k2\pi + \frac{\pi}{2}
\]
với k là một số nguyên bất kỳ.

Nói cách khác, hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng \([-\frac{\pi}{2} + k2\pi, \frac{\pi}{2} + k2\pi]\).

Bước 2: Kiểm tra các đáp án với điều kiện đồng biến

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng đáp án để xem khoảng nào thỏa mãn điều kiện trên. Chúng ta cần lưu ý rằng các đáp án đều cho dưới dạng khoảng mở, nên chúng ta sẽ xem xét các khoảng mở tương ứng.

Để dễ dàng so sánh, chúng ta có thể quy đồng mẫu số hoặc đưa về các giá trị tương đương.

* Đáp án a: \(((5pi)/4;(7pi)/4)\)
Chúng ta có \((5\pi)/4 = \pi + \pi/4\) và \((7\pi)/4 = 2\pi – \pi/4\).
Khoảng này nằm trong góc phần tư thứ 3 và thứ 4 của đường tròn lượng giác. Trong khoảng này, hàm số sin x sẽ nghịch biến (từ -1 đến 0 rồi tăng lên 0), nên đáp án này sai.

* Đáp án b: \(((7pi)/4;3pi)\)
Chúng ta có \((7\pi)/4 = 2\pi – \pi/4\).
\(3\pi = 2\pi + \pi\).
Khoảng này bao gồm phần cuối của chu kỳ thứ nhất (từ \(2\pi – \pi/4\) đến \(2\pi\)) và phần đầu của chu kỳ thứ hai (từ \(2\pi\) đến \(3\pi\)).
Trong khoảng \(((7\pi)/4, 2\pi)\), hàm số sin x đồng biến (từ giá trị âm đến 0).
Trong khoảng \(((2\pi, 3\pi))\), hàm số sin x đồng biến từ 0 lên 1 rồi lại giảm về 0.
Nếu xét cả khoảng \(((7pi)/4;3pi)\), thì nó bao gồm cả khoảng đồng biến và nghịch biến. Tuy nhiên, nếu chúng ta nhìn vào chu kỳ tuần hoàn, ta có thể thấy nó bao gồm một phần của khoảng đồng biến và một phần của khoảng tiếp theo. Để chắc chắn, chúng ta sẽ xem xét đáp án c và d trước.

* Đáp án c: \(((7pi)/4;(9pi)/4)\)
Ta có \((7\pi)/4 = 2\pi – \pi/4\).
Ta có \((9\pi)/4 = 2\pi + \pi/4\).
Như vậy, khoảng \(((7pi)/4;(9pi)/4)\) chính là khoảng \(((2\pi – \pi/4); (2\pi + \pi/4))\).
Khoảng này có dạng \(((k2\pi – \pi/2); (k2\pi + \pi/2))\) với \(k=1\). Cụ thể là \(((2\pi – \pi/2); (2\pi + \pi/2))\) mà ở đây ta có \((7\pi)/4\) và \((9\pi)/4\).
Hãy so sánh \((7\pi)/4\) với \(2\pi – \pi/2 = 3\pi/2\). Ta thấy \((7\pi)/4 > 3\pi/2\).
Và \((9\pi)/4\) với \(2\pi + \pi/2 = 5\pi/2\). Ta thấy \((9\pi)/4 < 5\pi/2\). Khoảng \(((7pi)/4;(9pi)/4)\) là \(((2\pi - \pi/4); (2\pi + \pi/4))\). Trong khoảng \(((7pi)/4; 2\pi)\), sin x đồng biến (từ âm lên 0). Trong khoảng \(((2\pi; 9pi)/4)\), sin x đồng biến (từ 0 lên giá trị dương). Vậy, khoảng \(((7pi)/4;(9pi)/4)\) hoàn toàn nằm trong một khoảng đồng biến của hàm số sin x. * Đáp án d: \(((9pi)/4;(11pi)/4)\)
Ta có \((9\pi)/4 = 2\pi + \pi/4\).
Ta có \((11\pi)/4 = 2\pi + 3\pi/4\).
Khoảng này là \(((2\pi + \pi/4); (2\pi + 3\pi/4))\).
Trong khoảng \(((2\pi + \pi/4); 2\pi + \pi/2)\), hàm số sin x đồng biến.
Trong khoảng \(((2\pi + \pi/2); (2\pi + 3\pi/4))\), hàm số sin x lại nghịch biến.
Do đó, khoảng này không hoàn toàn đồng biến.

Bước 3: Kết luận

Dựa vào phân tích trên, khoảng \(((7pi)/4;(9pi)/4)\) là khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến.

Skill bấm máy tính (chỉ mang tính chất minh họa, không thay thế cho hiểu bản chất)

Các em có thể dùng máy tính Casio để kiểm tra giá trị của hàm sin x tại các điểm trong mỗi khoảng.

Để làm được điều này, các em cần chuyển máy tính sang chế độ Radian (RAD).

Ví dụ với đáp án c: Khoảng \(((7pi)/4;(9pi)/4)\).
Chúng ta chọn hai điểm bất kỳ trong khoảng này, ví dụ:
– \(x_1 = (7\pi)/4 \approx 5.4978\)
– \(x_2 = (9\pi)/4 \approx 7.0686\)
Chọn một điểm ở giữa: \(x_m = (8\pi)/4 = 2\pi \approx 6.2832\)

Bây giờ, ta tính giá trị sin:
– \(sin(\pi) = 0\) (nếu ta lấy \(x = \pi\))
– \(sin((7\pi)/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
– \(sin(2\pi) = 0\)
– \(sin((9\pi)/4) = sin(2\pi + \pi/4) = sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta thấy khi x tăng từ \((7\pi)/4\) đến \(2\pi\), sin x tăng từ \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) lên 0.
Khi x tăng từ \(2\pi\) đến \((9\pi)/4\), sin x tăng từ 0 lên \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Như vậy, trên toàn bộ khoảng \(((7pi)/4;(9pi)/4)\), hàm số sin x luôn đồng biến.

Các em có thể thử với các đáp án khác và sẽ thấy chúng không thỏa mãn.

Vậy, đáp án đúng là c. \(((7pi)/4;(9pi)/4)\).

Nhớ rằng, việc hiểu bản chất toán học là quan trọng nhất. Máy tính chỉ là công cụ hỗ trợ để kiểm tra hoặc minh họa. Chúc các em học tốt!