Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập tìm số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển của đa thức \(x(2x+1)^4 + (x+2)^5\). Đây là một bài tập kết hợp hai kiến thức quan trọng là khai triển nhị thức Newton và cách tìm số hạng theo yêu cầu đề bài. Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé.

Bước 1: Khai triển từng phần của đa thức

Đa thức của chúng ta gồm hai phần: \(x(2x+1)^4\) và \((x+2)^5\). Chúng ta sẽ lần lượt khai triển từng phần.

Phần 1: Khai triển \(x(2x+1)^4\)

Trước tiên, chúng ta cần khai triển \((2x+1)^4\) dựa vào công thức khai triển nhị thức Newton:
\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]
Ở đây, \(a = 2x\), \(b = 1\), và \(n = 4\).
Vậy, \((2x+1)^4 = \binom{4}{0} (2x)^{4-0} 1^0 + \binom{4}{1} (2x)^{4-1} 1^1 + \binom{4}{2} (2x)^{4-2} 1^2 + \binom{4}{3} (2x)^{4-3} 1^3 + \binom{4}{4} (2x)^{4-4} 1^4\)

Ta tính các hệ số nhị thức:
\(\binom{4}{0} = 1\)
\(\binom{4}{1} = 4\)
\(\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)
\(\binom{4}{3} = 4\)
\(\binom{4}{4} = 1\)

Bây giờ, ta thay vào công thức khai triển:
\((2x+1)^4 = 1 \cdot (2x)^4 \cdot 1 + 4 \cdot (2x)^3 \cdot 1 + 6 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 4 \cdot (2x)^1 \cdot 1 + 1 \cdot (2x)^0 \cdot 1\)
\((2x+1)^4 = 1 \cdot 16x^4 + 4 \cdot 8x^3 + 6 \cdot 4x^2 + 4 \cdot 2x + 1 \cdot 1\)
\((2x+1)^4 = 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1\)

Bây giờ, chúng ta nhân biểu thức này với \(x\):
\(x(2x+1)^4 = x(16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1)\)
\(x(2x+1)^4 = 16x^5 + 32x^4 + 24x^3 + 8x^2 + x\)

Phần 2: Khai triển \((x+2)^5\)

Tiếp theo, ta khai triển \((x+2)^5\) cũng bằng công thức nhị thức Newton:
Ở đây, \(a = x\), \(b = 2\), và \(n = 5\).
Vậy, \((x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} 2^k\)

Ta tính các hệ số nhị thức:
\(\binom{5}{0} = 1\)
\(\binom{5}{1} = 5\)
\(\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
\(\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10\)
\(\binom{5}{4} = 5\)
\(\binom{5}{5} = 1\)

Bây giờ, ta thay vào công thức khai triển:
\((x+2)^5 = \binom{5}{0} x^5 2^0 + \binom{5}{1} x^4 2^1 + \binom{5}{2} x^3 2^2 + \binom{5}{3} x^2 2^3 + \binom{5}{4} x^1 2^4 + \binom{5}{5} x^0 2^5\)
\((x+2)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot 2 + 10 \cdot x^3 \cdot 4 + 10 \cdot x^2 \cdot 8 + 5 \cdot x \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32\)
\((x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32\)

Bước 2: Tìm số hạng chứa \(x^3\) trong từng khai triển

Bây giờ, chúng ta xem xét từng phần khai triển để tìm số hạng chứa \(x^3\).

Trong khai triển \(x(2x+1)^4 = 16x^5 + 32x^4 + 24x^3 + 8x^2 + x\), số hạng chứa \(x^3\) là \(24x^3\).

Trong khai triển \((x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32\), số hạng chứa \(x^3\) là \(40x^3\).

Bước 3: Cộng các số hạng chứa \(x^3\) lại

Cuối cùng, để tìm số hạng chứa \(x^3\) trong toàn bộ đa thức, chúng ta cộng các số hạng \(x^3\) tìm được từ hai phần:
Số hạng chứa \(x^3\) = Số hạng \(x^3\) từ \(x(2x+1)^4\) + Số hạng \(x^3\) từ \((x+2)^5\)
Số hạng chứa \(x^3\) = \(24x^3 + 40x^3\)
Số hạng chứa \(x^3\) = \(64x^3\)

Vậy, số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển của đa thức \(x(2x+1)^4 + (x+2)^5\) là \(64x^3\).

Các em thấy đấy, chỉ cần áp dụng đúng công thức khai triển nhị thức Newton và cẩn thận trong từng phép tính là chúng ta có thể giải quyết bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé!