Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= ln(2x) là
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Công thức tích phân từng phần là:
∫u dv = uv – ∫v du
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho hàm số f(x) = ln(2x).
Bước 1: Đặt u và dv
Chúng ta cần lựa chọn u và dv sao cho việc tính ∫v du trở nên đơn giản hơn. Trong trường hợp này, ta đặt:
u = ln(2x)
dv = dx
Bước 2: Tính du và v
Từ u = ln(2x), ta lấy đạo hàm để tìm du:
du = d(ln(2x))
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
du = (1/(2x)) * 2 dx = 1/x dx
Từ dv = dx, ta lấy nguyên hàm để tìm v:
v = ∫dx = x
Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần
Bây giờ, chúng ta thay u, v, du, dv vào công thức tích phân từng phần:
∫ln(2x) dx = u*v – ∫v du
∫ln(2x) dx = ln(2x) x – ∫x (1/x dx)
Bước 4: Rút gọn và tính tích phân còn lại
∫ln(2x) dx = x*ln(2x) – ∫1 dx
Tích phân của 1 dx là x. Vậy ta có:
∫ln(2x) dx = x*ln(2x) – x
Bước 5: Thêm hằng số tích phân C
Vì đây là tìm họ nguyên hàm, chúng ta cần cộng thêm hằng số tích phân C vào kết quả cuối cùng.
∫ln(2x) dx = x*ln(2x) – x + C
Vậy, họ nguyên hàm của hàm số f(x) = ln(2x) là x*ln(2x) – x + C.
Các em có thể kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm của kết quả này. Nếu đạo hàm của x*ln(2x) – x + C bằng ln(2x), thì chúng ta đã làm đúng.
(x*ln(2x) – x + C)’ = (x*ln(2x))’ – x’ + C’
= (1 ln(2x) + x (1/x)) – 1 + 0
= ln(2x) + 1 – 1
= ln(2x)
Kết quả đạo hàm trùng với hàm số ban đầu, nên cách giải của chúng ta là hoàn toàn chính xác.
Hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn cách áp dụng phương pháp tích phân từng phần để tìm họ nguyên hàm. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.
Đáp án:
\(x\ln2x – x + C\)
Giải thích các bước giải:
\(\quad F(x) = \displaystyle\int\ln(2x)dx\)
Đặt \(\begin{cases}u= \ln2x\\v= dx\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}du= \dfrac1xdx\\v = x\end{cases}\)
Ta được:
\(\quad F(x) = x\ln2x – \displaystyle\int dx\)
\(\to F(x)= x\ln2x – x + C\)
Đáp án + Giải thích các bước giải:
\(f(x) = \displaystyle\int\ln 2x\; dx\)
\(Đặt \ln 2x=t → dt=\dfrac1x\; dx\)
Khi đó:
\(f(x)=\displaystyle\int t\; dt\)
\(=\displaystyle\int \ln 2x . \dfrac1x – \displaystyle\int dx\)
\(= x\ln 2x-x+C\)