Chào các em, thầy rất vui khi các em quan tâm đến việc giải các bài toán ứng dụng thực tế như thế này. Đây là một dạng toán giải bằng cách lập phương trình rất điển hình trong chương trình Toán lớp 9. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhé.

Phân tích bài toán:
Đây là dạng toán về công việc làm chung và làm riêng. Đại lượng cốt lõi của dạng toán này là “năng suất làm việc”, tức là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian (ở đây là 1 giờ).

Quy ước toàn bộ công việc cần hoàn thành là 1 (đơn vị công việc).

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn

Gọi thời gian để lớp 9A làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ).
Theo đề bài, thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian học sinh lớp 9B là 2 giờ, nên thời gian để lớp 9B làm một mình xong công việc là \(x + 2\) (giờ).

Điều kiện của ẩn:
Thời gian phải là một số dương. Vì hai lớp cùng làm trong \(\frac{35}{12}\) giờ đã xong, nên thời gian mỗi lớp làm một mình phải lớn hơn thời gian làm chung.
Do đó, ta có điều kiện: \(x > \frac{35}{12}\).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

Từ thời gian hoàn thành công việc của mỗi lớp, ta tính được lượng công việc mỗi lớp làm được trong 1 giờ (năng suất):

• Trong 1 giờ, lớp 9A làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc)
• Trong 1 giờ, lớp 9B làm được: \(\frac{1}{x+2}\) (công việc)

Khi cả hai lớp cùng làm, trong 1 giờ sẽ làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2}\) (công việc).

Mặt khác, theo đề bài, cả hai lớp cùng làm thì sau \(\frac{35}{12}\) giờ sẽ xong công việc.
Vậy, trong 1 giờ, cả hai lớp cùng làm được:
\[1 : \frac{35}{12} = \frac{12}{35} \text{ (công việc)}\]

Bước 3: Lập phương trình

Từ các phân tích trên, ta có phương trình thể hiện mối liên hệ về năng suất làm việc:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{12}{35} \]

Bước 4: Giải phương trình

Ta sẽ quy đồng mẫu số để giải phương trình trên:
\[ \frac{35(x+2)}{35x(x+2)} + \frac{35x}{35x(x+2)} = \frac{12x(x+2)}{35x(x+2)} \]
Khử mẫu số, ta được:
\[ 35(x+2) + 35x = 12x(x+2) \]
\[ 35x + 70 + 35x = 12x^2 + 24x \]
\[ 70x + 70 = 12x^2 + 24x \]
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về phương trình bậc hai:
\[ 12x^2 + 24x – 70x – 70 = 0 \]
\[ 12x^2 – 46x – 70 = 0 \]
Ta có thể chia cả hai vế cho 2 để phương trình đơn giản hơn:
\[ 6x^2 – 23x – 35 = 0 \]
Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này. Ta có thể dùng công thức nghiệm:

\(a = 6, b = -23, c = -35\)

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):
\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-23)^2 – 4(6)(-35) = 529 + 840 = 1369 \]
Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta tính \(\sqrt{\Delta}\):
\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{1369} = 37 \]
Nghiệm của phương trình là:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{23 + 37}{2 \cdot 6} = \frac{60}{12} = 5 \]
\[ x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{23 – 37}{2 \cdot 6} = \frac{-14}{12} = -\frac{7}{6} \]

Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận

So sánh các nghiệm tìm được với điều kiện \(x > \frac{35}{12}\) (vì \(\frac{35}{12} \approx 2.92\)).

• Nghiệm \(x_1 = 5\). Ta thấy \(5 > \frac{35}{12}\) nên nghiệm này thỏa mãn điều kiện.
• Nghiệm \(x_2 = -\frac{7}{6}\). Nghiệm này là số âm, không thỏa mãn điều kiện thời gian phải là số dương, nên ta loại nghiệm này.

Vậy, thời gian để lớp 9A làm một mình xong công việc là 5 giờ.

Thời gian để lớp 9B làm một mình xong công việc là \(x + 2 = 5 + 2 = 7\) giờ.

Trả lời:

Nếu mỗi lớp làm một mình thì thời gian để hoàn thành công việc là:

• Lớp 9A: 5 giờ.
• Lớp 9B: 7 giờ.

Các em thấy đấy, bằng cách phân tích bài toán một cách hệ thống, chúng ta có thể giải quyết được vấn đề một cách dễ dàng. Chúc các em học tốt