Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất thú vị và quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, đó là chứng minh đẳng thức dựa trên một điều kiện cho trước.

Chúng ta sẽ cùng nhau đi vào bài tập I2, phần a) nhé.

b) Cho \(x^2 +y^2+z^2=xy+yz+zx\). Chứng minh rằng \(x=y=z\).

Để giải bài tập này, chúng ta cần nhớ lại một số kiến thức đã học ở đầu chương trình hoặc các bài trước đó.

Bước 1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng dễ phân tích hơn.

Đề bài cho chúng ta đẳng thức:
\(x^2 +y^2+z^2=xy+yz+zx\)

Cô sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế để có dạng bằng 0.
\(x^2 +y^2+z^2 – xy – yz – zx = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình này với 2. Việc này sẽ giúp chúng ta tạo ra các hằng đẳng thức quen thuộc.
\(2(x^2 +y^2+z^2 – xy – yz – zx) = 2 \times 0\)
\(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0\)

Bước 2: Tách các hạng tử để hình thành các hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.

Chúng ta sẽ sắp xếp lại các hạng tử để nhóm chúng lại với nhau.
\((x^2 – 2xy + y^2) + (y^2 – 2yz + z^2) + (z^2 – 2zx + x^2) = 0\)

Các em thấy gì nào? Các nhóm hạng tử trong ngoặc chính là các dạng của bình phương của một hiệu mà chúng ta đã học. Cụ thể:
\(x^2 – 2xy + y^2 = (x-y)^2\)
\(y^2 – 2yz + z^2 = (y-z)^2\)
\(z^2 – 2zx + x^2 = (z-x)^2\)

Thay thế vào phương trình, ta được:
\((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0\)

Bước 3: Sử dụng tính chất của lũy thừa bậc chẵn và suy luận.

Chúng ta biết rằng, với mọi số thực, bình phương của nó luôn không âm, tức là \((a-b)^2 \ge 0\).
Do đó:
\((x-y)^2 \ge 0\)
\((y-z)^2 \ge 0\)
\((z-x)^2 \ge 0\)

Bây giờ, chúng ta có tổng của ba số không âm bằng 0. Điều này chỉ xảy ra khi cả ba số hạng đó đều bằng 0.
Tức là:
\((x-y)^2 = 0\)
\((y-z)^2 = 0\)
\((z-x)^2 = 0\)

Bước 4: Suy ra điều phải chứng minh.

Từ các phương trình trên, ta lần lượt suy ra:
Nếu \((x-y)^2 = 0\) thì \(x-y = 0\), suy ra \(x = y\).
Nếu \((y-z)^2 = 0\) thì \(y-z = 0\), suy ra \(y = z\).
Nếu \((z-x)^2 = 0\) thì \(z-x = 0\), suy ra \(z = x\).

Kết hợp lại, ta có \(x = y\) và \(y = z\). Từ đó, suy ra điều phải chứng minh là \(x=y=z\).

Kết luận:
Vậy, từ giả thiết \(x^2 +y^2+z^2=xy+yz+zx\), chúng ta đã chứng minh được rằng \(x=y=z\).

Các em thấy đấy, chỉ cần khéo léo biến đổi và áp dụng đúng các hằng đẳng thức quen thuộc cùng với tính chất của lũy thừa, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nắm vững kiến thức hơn nhé!