Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức Nhị thức Newton.

1. Ôn lại kiến thức cơ bản
Công thức khai triển Nhị thức Newton cho biểu thức \( (a+b)^n \) là:
\( (a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + … + C_n^k a^{n-k} b^k + … + C_n^n a^0 b^n \)
Trong đó, số hạng tổng quát thứ \(k+1\) của khai triển là: \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \) (với \( 0 \le k \le n \)).

2. Áp dụng vào bài toán
Chúng ta cần khai triển biểu thức \( (x + \frac{1}{x})^4 \).
Áp dụng công thức Nhị thức Newton, ta xác định:

• \( a = x \)
• \( b = \frac{1}{x} \)
• \( n = 4 \)

Số hạng tổng quát của khai triển này là:
\( T_{k+1} = C_4^k (x)^{4-k} (\frac{1}{x})^k \)
Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta sẽ rút gọn số hạng tổng quát này:
\( T_{k+1} = C_4^k x^{4-k} \frac{1}{x^k} = C_4^k \frac{x^{4-k}}{x^k} = C_4^k x^{4-2k} \) (với \( 0 \le k \le 4 \)).

Bây giờ, chúng ta sẽ dùng công thức số hạng tổng quát \( T_{k+1} = C_4^k x^{4-2k} \) để xét tính đúng sai của từng mệnh đề.

a) Xét mệnh đề “hệ số của x² là 1/4”
Để tìm hệ số của \(x^2\), ta cần tìm giá trị \(k\) sao cho số mũ của \(x\) bằng 2.
Ta có phương trình: \( 4 – 2k = 2 \)
\( \Leftrightarrow 2k = 4 – 2 \)
\( \Leftrightarrow 2k = 2 \)
\( \Leftrightarrow k = 1 \)
Với \(k=1\), hệ số của số hạng tương ứng là \( C_4^1 \).
Ta có: \( C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4 \).
Vậy, hệ số của \(x^2\) là 4, không phải 1/4.
Kết luận: Mệnh đề (a) là SAI.

b) Xét mệnh đề “số hạng không chứa x là 6”
Số hạng không chứa x là số hạng có số mũ của x bằng 0.
Ta có phương trình: \( 4 – 2k = 0 \)
\( \Leftrightarrow 2k = 4 \)
\( \Leftrightarrow k = 2 \)
Với \(k=2\), số hạng tương ứng là \( C_4^2 x^{4-2*2} = C_4^2 x^0 = C_4^2 \).
Ta có: \( C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6 \).
Vậy, số hạng không chứa x là 6.
Kết luận: Mệnh đề (b) là ĐÚNG.

c) Xét mệnh đề “hệ số của x⁴ là 1”
Để tìm hệ số của \(x^4\), ta cần tìm giá trị \(k\) sao cho số mũ của \(x\) bằng 4.
Ta có phương trình: \( 4 – 2k = 4 \)
\( \Leftrightarrow 2k = 0 \)
\( \Leftrightarrow k = 0 \)
Với \(k=0\), hệ số của số hạng tương ứng là \( C_4^0 \).
Ta có: \( C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1 \).
Vậy, hệ số của \(x^4\) là 1.
Kết luận: Mệnh đề (c) là ĐÚNG.

d) Xét mệnh đề “sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng”
Theo tính chất của Nhị thức Newton, khai triển \( (a+b)^n \) luôn có \(n+1\) số hạng.
Với biểu thức \( (x + \frac{1}{x})^4 \), ta có \(n=4\).
Vậy, số các số hạng trong khai triển là \(4 + 1 = 5\).
Kết luận: Mệnh đề (d) là ĐÚNG.

TỔNG KẾT

• a) Sai
• b) Đúng
• c) Đúng
• d) Đúng

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách áp dụng Nhị thức Newton. Chúc các em học tốt