Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = \(\frac{2x-1}{x-1}\). Đây là một dạng hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 12 của chúng ta. Chúng ta sẽ đi từng bước thật cẩn thận theo đúng sách giáo khoa nhé.

Bước 1: Tập xác định

Đầu tiên, chúng ta cần tìm tập xác định của hàm số. Hàm số phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.
Trong trường hợp này, mẫu thức là \(x-1\).
Vậy, ta có: \(x-1 \neq 0\), suy ra \(x \neq 1\).
Do đó, tập xác định của hàm số là D = \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\), hay có thể viết là \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\).
Điều này có nghĩa là hàm số không xác định tại điểm \(x=1\).

Bước 2: Sự biến thiên

Để khảo sát sự biến thiên, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số.
Ta có hàm số \(y = \frac{2x-1}{x-1}\).
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số dạng \(\frac{u}{v}\), với \(u = 2x-1\) và \(v = x-1\).
Ta có \(u’ = 2\) và \(v’ = 1\).
Áp dụng công thức đạo hàm: \(y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\).
Thay vào, ta được:
\(y’ = \frac{2(x-1) – (2x-1)(1)}{(x-1)^2}\)
\(y’ = \frac{2x – 2 – 2x + 1}{(x-1)^2}\)
\(y’ = \frac{-1}{(x-1)^2}\)

Bây giờ, chúng ta xét dấu của đạo hàm \(y’\).
Vì \((x-1)^2 \ge 0\) với mọi \(x \neq 1\), và tử số là -1 (một số âm).
Do đó, \(y’ = \frac{-1}{(x-1)^2} < 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định D. Vì \(y' < 0\) trên toàn bộ tập xác định, nên hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Cụ thể: - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty, 1)\). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1, +\infty)\). Bước 3: Cực trị

Vì \(y’ < 0\) trên toàn bộ tập xác định, nên hàm số không có cực trị. Bước 4: Tiệm cận

Chúng ta cần tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

4.1. Tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng thường xuất hiện tại các điểm mà mẫu thức bằng 0. Ở đây, mẫu thức bằng 0 khi \(x=1\).
Chúng ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến về 1 từ bên trái và bên phải.

Giới hạn khi \(x \to 1^-\) (x tiến về 1 từ bên trái, tức là x < 1): Khi \(x \to 1^-\), thì \(x-1 \to 0^-\) (tiến về 0 và nhỏ hơn 0). Tử số \(2x-1 \to 2(1) - 1 = 1\). Vậy, \(\lim_{x \to 1^-} y = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x-1}{x-1} = \frac{1}{0^-} = -\infty\). Giới hạn khi \(x \to 1^+\) (x tiến về 1 từ bên phải, tức là x > 1):
Khi \(x \to 1^+\), thì \(x-1 \to 0^+\) (tiến về 0 và lớn hơn 0).
Tử số \(2x-1 \to 2(1) – 1 = 1\).
Vậy, \(\lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x-1}{x-1} = \frac{1}{0^+} = +\infty\).

Vì các giới hạn này bằng \(\pm \infty\), nên đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

4.2. Tiệm cận ngang

Chúng ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến về \(+\infty\) và \(-\infty\).
Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \(x\) trong mẫu, là \(x\).
\(y = \frac{2x-1}{x-1} = \frac{\frac{2x}{x} – \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} – \frac{1}{x}} = \frac{2 – \frac{1}{x}}{1 – \frac{1}{x}}\).

Giới hạn khi \(x \to +\infty\):
\(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 – \frac{1}{x}}{1 – \frac{1}{x}}\).
Khi \(x \to +\infty\), thì \(\frac{1}{x} \to 0\).
Vậy, \(\lim_{x \to +\infty} y = \frac{2 – 0}{1 – 0} = 2\).

Giới hạn khi \(x \to -\infty\):
\(\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 – \frac{1}{x}}{1 – \frac{1}{x}}\).
Khi \(x \to -\infty\), thì \(\frac{1}{x} \to 0\).
Vậy, \(\lim_{x \to -\infty} y = \frac{2 – 0}{1 – 0} = 2\).

Vì các giới hạn này hữu hạn và bằng 2, nên đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bước 5: Giao điểm với các trục tọa độ

5.1. Giao điểm với trục Oy

Để tìm giao điểm với trục Oy, ta cho \(x=0\).
\(y = \frac{2(0)-1}{0-1} = \frac{-1}{-1} = 1\).
Vậy, đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0, 1).

5.2. Giao điểm với trục Ox

Để tìm giao điểm với trục Ox, ta cho \(y=0\).
\(\frac{2x-1}{x-1} = 0\).
Điều này xảy ra khi tử số bằng 0: \(2x-1 = 0\).
Suy ra \(x = \frac{1}{2}\).
Vậy, đồ thị cắt trục Ox tại điểm (\(\frac{1}{2}\), 0).

Bước 6: Lập bảng biến thiên

Dựa trên các thông tin đã phân tích, ta lập bảng biến thiên cho hàm số.

| x | \(-\infty\) | 1 | \(+\infty\) |
|————|——————-|————-|——————-|
| \(y’\) | – | | – |
| \(y\) | \(2 \searrow -\infty\) | \(+\infty \searrow 2\) |

Trong đó:
– Hàng \(y’\) thể hiện dấu của đạo hàm.
– Hàng \(y\) thể hiện sự biến thiên của hàm số. Mũi tên \(\searrow\) chỉ sự giảm xuống (nghịch biến).
– Các giá trị \(2\), \(-\infty\), \(+\infty\) cho biết giới hạn hoặc giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt.

Bước 7: Vẽ đồ thị

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng tất cả các thông tin trên để vẽ đồ thị hàm số.

1. Vẽ các tiệm cận:
* Tiệm cận đứng: đường thẳng \(x=1\) (nét đứt).
* Tiệm cận ngang: đường thẳng \(y=2\) (nét đứt).

2. Đánh dấu các điểm đặc biệt:
* Giao điểm với trục Oy: (0, 1).
* Giao điểm với trục Ox: (\(\frac{1}{2}\), 0).

3. Vẽ các nhánh của đồ thị:
* Nhánh bên trái tiệm cận đứng (x < 1):
* Hàm số nghịch biến.
* Đi qua điểm (0, 1) và (\(\frac{1}{2}\), 0).
* Tiến về \(-\infty\) khi \(x \to 1^-\).
* Tiến về tiệm cận ngang \(y=2\) khi \(x \to -\infty\).
* Nhánh này nằm ở góc phần tư phía trên bên trái của hệ trục tọa độ, gần tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

* Nhánh bên phải tiệm cận đứng (x > 1):
* Hàm số nghịch biến.
* Tiến về \(+\infty\) khi \(x \to 1^+\).
* Tiến về tiệm cận ngang \(y=2\) khi \(x \to +\infty\).
* Nhánh này nằm ở góc phần tư phía dưới bên phải của hệ trục tọa độ, gần tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

Khi vẽ, các em nhớ chú ý đến hình dạng của các nhánh đồ thị sao cho nó thể hiện đúng sự nghịch biến và tiệm cận đã phân tích.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{2x-1}{x-1}\). Các em về nhà luyện tập thêm với các hàm số tương tự để nắm vững kiến thức nhé!