Chào các em! Hôm nay, cô và các em sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập khảo sát và vẽ đồ thị hàm số quen thuộc trong chương trình Toán lớp 12. Bài toán của chúng ta là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{2x}{x-1}\).

Để làm tốt bài này, chúng ta sẽ thực hiện lần lượt các bước theo đúng quy trình khảo sát hàm số đã học. Các em chú ý lắng nghe và ghi chép đầy đủ nhé!

Bước 1: Tập xác định

Đầu tiên, ta cần tìm tập xác định của hàm số. Hàm số \(y = \frac{2x}{x-1}\) là một hàm phân thức hữu tỉ, nên điều kiện để hàm số xác định là mẫu số phải khác 0.

Ta có: \(x – 1 \neq 0\)
Suy ra: \(x \neq 1\)

Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Điều này có nghĩa là hàm số xác định trên mọi số thực trừ số 1.

Bước 2: Sự biến thiên

Phần này, chúng ta sẽ xét tính đơn điệu (tăng hay giảm) của hàm số và các điểm cực trị (nếu có).

2.1. Đạo hàm

Để xét sự biến thiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số. Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức \(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\).

Ở đây, ta có \(u = 2x\) và \(v = x – 1\).
Suy ra: \(u’ = 2\) và \(v’ = 1\).

Áp dụng công thức, ta có:
\(y’ = \frac{2(x-1) – 2x(1)}{(x-1)^2}\)
\(y’ = \frac{2x – 2 – 2x}{(x-1)^2}\)
\(y’ = \frac{-2}{(x-1)^2}\)

2.2. Xét dấu đạo hàm

Ta thấy \(y’ = \frac{-2}{(x-1)^2}\).
Vì \((x-1)^2 > 0\) với mọi \(x \neq 1\), và tử số là -2 (số âm), nên \(y’ < 0\) với mọi \(x \in D\). 2.3. Khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị Vì \(y' < 0\) với mọi \(x \in D\), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty, 1)\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1, +\infty)\). Vì đạo hàm không đổi dấu và luôn âm, hàm số không có điểm cực trị. Bước 3: Tiệm cận

Tiệm cận là những đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến gần đến nhưng không bao giờ chạm tới. Ta xét hai loại tiệm cận: tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

3.1. Tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng thường xuất hiện tại các điểm mà làm cho mẫu số bằng 0. Trong trường hợp này, đó là \(x=1\). Ta xét giới hạn của hàm số khi x tiến về 1.

\(\lim_{x \to 1^-} y = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x}{x-1}\)
Khi \(x \to 1^-\) (x tiến về 1 từ bên trái), \(x < 1\), nên \(x-1 < 0\) và tiến về 0. Tử số \(2x\) tiến về \(2 \times 1 = 2\) (dương). Do đó, \(\lim_{x \to 1^-} y = -\infty\). \(\lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x}{x-1}\) Khi \(x \to 1^+\) (x tiến về 1 từ bên phải), \(x > 1\), nên \(x-1 > 0\) và tiến về 0. Tử số \(2x\) tiến về \(2 \times 1 = 2\) (dương).
Do đó, \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty\).

Vì giới hạn của hàm số khi x tiến về 1 là vô cùng, nên đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

3.2. Tiệm cận ngang

Ta xét giới hạn của hàm số khi x tiến về \(+\infty\) và \(-\infty\).

\(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x-1}\)
Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x ở mẫu, tức là x:
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x/x}{(x-1)/x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{1 – 1/x}\)
Khi \(x \to +\infty\), \(1/x \to 0\).
Do đó, \(\lim_{x \to +\infty} y = \frac{2}{1 – 0} = 2\).

\(\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{1 – 1/x}\)
Khi \(x \to -\infty\), \(1/x \to 0\).
Do đó, \(\lim_{x \to -\infty} y = \frac{2}{1 – 0} = 2\).

Vì giới hạn của hàm số khi x tiến về \(+\infty\) và \(-\infty\) đều bằng 2, nên đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bước 4: Giao điểm với các trục tọa độ

Ta sẽ tìm xem đồ thị hàm số cắt trục tung (Ox) và trục hoành (Oy) tại những điểm nào.

4.1. Giao điểm với trục Oy

Để tìm giao điểm với trục Oy, ta cho \(x=0\) và tính giá trị của y.
Khi \(x=0\), \(y = \frac{2(0)}{0-1} = \frac{0}{-1} = 0\).
Vậy, đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0, 0). Điểm này chính là gốc tọa độ.

4.2. Giao điểm với trục Ox

Để tìm giao điểm với trục Ox, ta cho \(y=0\) và giải phương trình.
\(y = \frac{2x}{x-1} = 0\)
Điều này xảy ra khi tử số bằng 0, tức là \(2x = 0\), suy ra \(x=0\).
Vậy, đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0, 0).

Như vậy, đồ thị hàm số chỉ đi qua gốc tọa độ (0, 0).

Bước 5: Bảng biến thiên

Bảng biến thiên là một công cụ tổng hợp giúp chúng ta hình dung được sự biến thiên của hàm số.

| x | \(-\infty\) | | 1 | | \(+\infty\) |
|—|—|—|—|—|—|
| y’ | | – | | – | |
| y | 2 | \( \searrow \) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \( \searrow \) | 2 |

Giải thích bảng biến thiên:
– Dòng đầu tiên thể hiện các giá trị quan trọng của x: từ \(-\infty\) đến \(+\infty\), bao gồm điểm làm mẫu số bằng 0 (x=1).
– Dòng thứ hai cho biết dấu của đạo hàm y’. Dấu ‘-‘ cho thấy hàm số nghịch biến.
– Dòng thứ ba thể hiện sự biến thiên của y. Mũi tên đi xuống (\(\searrow\)) chỉ sự nghịch biến. Các giá trị ở hai đầu và tại điểm gián đoạn được ghi chú: tiệm cận ngang y=2, tiệm cận đứng x=1 với giới hạn là \(-\infty\) và \(+\infty\).

Bước 6: Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào tất cả các thông tin đã phân tích ở các bước trên, chúng ta sẽ tiến hành vẽ đồ thị.

Các bước vẽ:
1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy.
2. Vẽ các tiệm cận:
– Tiệm cận đứng: đường thẳng \(x=1\) (nét đứt).
– Tiệm cận ngang: đường thẳng \(y=2\) (nét đứt).
3. Xác định điểm đặc biệt: Đồ thị đi qua gốc tọa độ (0, 0).
4. Dựa vào bảng biến thiên, ta vẽ hai nhánh của đồ thị:
– Nhánh thứ nhất (nằm bên trái tiệm cận đứng x=1): Khi \(x\) tiến về \(-\infty\), \(y\) tiến về 2. Khi \(x\) tiến về 1 từ bên trái, \(y\) tiến về \(-\infty\). Nhánh này đi từ gần tiệm cận ngang \(y=2\) ở bên trái, đi xuống và tiến gần đến tiệm cận đứng \(x=1\). Nhánh này đi qua gốc tọa độ (0,0).
– Nhánh thứ hai (nằm bên phải tiệm cận đứng x=1): Khi \(x\) tiến về 1 từ bên phải, \(y\) tiến về \(+\infty\). Khi \(x\) tiến về \(+\infty\), \(y\) tiến về 2. Nhánh này đi từ trên cao, rất gần tiệm cận đứng \(x=1\), đi xuống và tiến gần đến tiệm cận ngang \(y=2\) ở bên phải.

Sau khi vẽ xong, các em có thể kiểm tra lại bằng cách lấy thêm một vài điểm thuộc mỗi nhánh để xem chúng có khớp với hình dạng đồ thị không.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{2x}{x-1}\). Các em thấy đó, nếu làm theo đúng từng bước thì bài toán không hề khó đúng không nào? Các em hãy ôn tập kỹ các bước này để có thể áp dụng cho những bài tập tương tự nhé!