Chào em, cô rất vui được giúp em giải bài toán này. Đây là một dạng bài tập khảo sát và vẽ đồ thị hàm số rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 12. Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bước một cách cẩn thận nhé!

BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x^4 – 2x^2 – 1

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Tập xác định

Tập xác định của hàm số đa thức luôn là toàn bộ tập số thực.
Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Bước 2: Sự biến thiên

Để khảo sát sự biến thiên, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số.

Tính đạo hàm:
\(y’ = \frac{d}{dx}(x^4 – 2x^2 – 1)\)
\(y’ = 4x^3 – 4x\)

Tìm các điểm cực trị (nghiệm của y’ = 0):
Đặt \(y’ = 0\):
\(4x^3 – 4x = 0\)
\(4x(x^2 – 1) = 0\)
\(4x(x-1)(x+1) = 0\)
Ta có ba nghiệm: \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -1\).

Lập bảng biến thiên:
Bảng biến thiên sẽ cho chúng ta thấy sự tăng, giảm của hàm số và các giá trị cực trị.
Chúng ta sẽ xét dấu của \(y’\) trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm \(x = -1, x = 0, x = 1\).

– Trên khoảng \((-\infty, -1)\): Chọn \(x = -2\), \(y’ = 4(-2)^3 – 4(-2) = 4(-8) + 8 = -32 + 8 = -24 < 0\). Vậy hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \((-1, 0)\): Chọn \(x = -0.5\), \(y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = 4(-0.125) + 2 = -0.5 + 2 = 1.5 > 0\). Vậy hàm số đồng biến.
– Trên khoảng \((0, 1)\): Chọn \(x = 0.5\), \(y’ = 4(0.5)^3 – 4(0.5) = 4(0.125) – 2 = 0.5 – 2 = -1.5 < 0\). Vậy hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \((1, +\infty)\): Chọn \(x = 2\), \(y' = 4(2)^3 - 4(2) = 4(8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0\). Vậy hàm số đồng biến.

Bây giờ, chúng ta tính giá trị của hàm số y tại các điểm cực trị:
– Tại \(x = -1\): \(y = (-1)^4 – 2(-1)^2 – 1 = 1 – 2(1) – 1 = 1 – 2 – 1 = -2\).
– Tại \(x = 0\): \(y = (0)^4 – 2(0)^2 – 1 = 0 – 0 – 1 = -1\).
– Tại \(x = 1\): \(y = (1)^4 – 2(1)^2 – 1 = 1 – 2(1) – 1 = 1 – 2 – 1 = -2\).

Bảng biến thiên sẽ có dạng như sau:

| x | \(-\infty\) | -1 | 0 | 1 | \(+\infty\) |
|————|———–|——-|——-|——-|———–|
| y’ | – | 0 | + | 0 | – | 0 | + |
| y | \(+\infty\) | | | | \(+\infty\) |
| | | -2 | | -1 | | -2 | |
| | | | | | | | |

Bước 3: Đồ thị

Điểm đặc biệt (cực trị):
– Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), \(y_{CĐ} = -1\). Điểm cực đại là \((0, -1)\).
– Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1\) và \(x = 1\), \(y_{CT} = -2\). Các điểm cực tiểu là \((-1, -2)\) và \((1, -2)\).

Giao điểm với các trục tọa độ:
– Với trục Oy: Cho \(x = 0\), ta có \(y = 0^4 – 2(0)^2 – 1 = -1\). Giao điểm với trục Oy là \((0, -1)\). (Đây cũng là điểm cực đại của đồ thị).
– Với trục Ox: Cho \(y = 0\), ta có \(x^4 – 2x^2 – 1 = 0\).
Đặt \(t = x^2\), với \(t \ge 0\). Phương trình trở thành \(t^2 – 2t – 1 = 0\).
Giải phương trình bậc hai này ta có:
\(t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\).
Vì \(t = x^2\) nên \(t \ge 0\). Ta có hai nghiệm \(t_1 = 1 + \sqrt{2} > 0\) và \(t_2 = 1 – \sqrt{2} < 0\). Ta chỉ nhận nghiệm \(t_1 = 1 + \sqrt{2}\) vì \(t \ge 0\). Suy ra \(x^2 = 1 + \sqrt{2}\). Vậy \(x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}\). Khoảng \(x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}\) là các giao điểm với trục Ox. (Ta có thể làm tròn để dễ vẽ: \(\sqrt{1+\sqrt{2}} \approx \sqrt{1+1.414} = \sqrt{2.414} \approx 1.55\)). Tính đối xứng:
Hàm số \(y = x^4 – 2x^2 – 1\) chỉ chứa các lũy thừa bậc chẵn của x, nên đây là hàm số chẵn. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Vẽ đồ thị:
Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt, chúng ta sẽ vẽ đồ thị.
– Đồ thị đi xuống từ \(+\infty\) đến \((-\infty, -2)\).
– Đồ thị đi lên từ \((-\infty, -2)\) đến điểm cực đại \((0, -1)\).
– Đồ thị đi xuống từ điểm cực đại \((0, -1)\) đến điểm cực tiểu \((1, -2)\).
– Đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu \((1, -2)\) đến \(+\infty\).
– Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
– Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm \(x \approx \pm 1.55\).

(Do không thể vẽ trực tiếp trên đây, em hãy hình dung hoặc dùng phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra nhé. Đồ thị sẽ có dạng hình chữ “W” rộng và cân đối qua trục Oy).

Tổng kết:

* Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
* Sự biến thiên:
* Nghịch biến trên \((-\infty, -1)\) và \((0, 1)\).
* Đồng biến trên \((-1, 0)\) và \((1, +\infty)\).
* Cực trị:
* Cực đại tại \((0, -1)\).
* Cực tiểu tại \((-1, -2)\) và \((1, -2)\).
* Giao điểm với trục Ox: \(x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}\).
* Giao điểm với trục Oy: \((0, -1)\).
* Trục đối xứng: Trục Oy.

Hy vọng với cách giải chi tiết này, em đã hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc em học tốt!