Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng ôn tập và làm rõ về hai quy tắc rất quan trọng trong phép cộng vectơ mà chúng ta đã học ở chương trình Toán lớp 10, đó là **quy tắc 3 điểm** và **quy tắc hình bình hành**. Việc nắm vững khi nào sử dụng mỗi quy tắc sẽ giúp các em giải quyết các bài toán về vectơ một cách hiệu quả và chính xác.

Chúng ta bắt đầu nhé!

I. Khi nào sử dụng Quy tắc 3 điểm?

Bước 1: Nhắc lại Quy tắc 3 điểm

Quy tắc 3 điểm (hay còn gọi là quy tắc tam giác) phát biểu rằng: “Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có đẳng thức vectơ: \[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\]”.

Giải thích ý nghĩa: Quy tắc này diễn tả một sự di chuyển liên tiếp. Nếu các em đi từ điểm A đến điểm B, sau đó tiếp tục đi từ điểm B đến điểm C, thì tổng quãng đường di chuyển theo vectơ sẽ tương đương với việc các em đi thẳng từ điểm A đến điểm C. Điểm B chính là điểm “nối” giữa hai quãng đường.

Bước 2: Xác định điều kiện sử dụng

Các em sẽ sử dụng quy tắc 3 điểm khi muốn cộng hai vectơ mà trong đó:

• Điểm cuối của vectơ thứ nhất TRÙNG với điểm đầu của vectơ thứ hai.

Tức là, nếu em có hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), và điểm cuối của \(\vec{u}\) (ví dụ là điểm B) cũng là điểm đầu của \(\vec{v}\) (ví dụ cũng là điểm B), thì chúng ta có thể áp dụng quy tắc này để “nối” chúng lại thành một vectơ duy nhất.

Bước 3: Ví dụ minh họa và lý do áp dụng

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức vectơ \(\vec{MN} + \vec{NP}\).

Lời giải:

Ta thấy:

• Vectơ thứ nhất là \(\vec{MN}\), có điểm cuối là N.
• Vectơ thứ hai là \(\vec{NP}\), có điểm đầu là N.

Vì điểm cuối của \(\vec{MN}\) (điểm N) trùng với điểm đầu của \(\vec{NP}\) (cũng là điểm N), nên chúng ta có thể áp dụng quy tắc 3 điểm.

Theo quy tắc 3 điểm, ta có: \[\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}\]

Lý do áp dụng: Quy tắc này giúp chúng ta “khử” đi điểm chung ở giữa hai vectơ liên tiếp, thu gọn tổng hai vectơ thành một vectơ duy nhất, làm cho biểu thức đơn giản hơn và dễ hình dung hơn về mặt hình học.

Ví dụ 2: Tính tổng \(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + … + \vec{A_{n-1}A_n}\).

Lời giải: Đây là một chuỗi các vectơ nối tiếp nhau.

• \(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} = \vec{A_1A_3}\) (Áp dụng quy tắc 3 điểm)
• Tiếp tục, \(\vec{A_1A_3} + \vec{A_3A_4} = \vec{A_1A_4}\)
• …Cứ như vậy cho đến hết.

Cuối cùng, ta được: \[\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + … + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}\]

Lý do áp dụng: Khi có một chuỗi dài các vectơ liên tiếp, quy tắc 3 điểm là công cụ mạnh mẽ để rút gọn toàn bộ chuỗi đó thành một vectơ duy nhất, giúp đơn giản hóa bài toán rất nhiều.

II. Khi nào sử dụng Quy tắc hình bình hành?

Bước 1: Nhắc lại Quy tắc hình bình hành

Quy tắc hình bình hành phát biểu rằng: “Nếu ABCD là một hình bình hành thì với gốc A, ta có đẳng thức vectơ: \[\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\]”.

Giải thích ý nghĩa: Quy tắc này giúp chúng ta tìm vectơ tổng của hai vectơ có chung điểm gốc. Các em có thể hình dung hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AD}\) như hai lực cùng tác dụng lên một vật tại điểm A. Vectơ tổng \(\vec{AC}\) chính là hợp lực, nằm trên đường chéo của hình bình hành được tạo bởi hai vectơ thành phần đó.

Bước 2: Xác định điều kiện sử dụng

Các em sẽ sử dụng quy tắc hình bình hành khi muốn cộng hai vectơ mà trong đó:

• Hai vectơ đó CÓ CHUNG ĐIỂM GỐC (điểm đầu).

Tức là, nếu em có hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), và điểm đầu của \(\vec{u}\) (ví dụ là điểm A) cũng là điểm đầu của \(\vec{v}\) (ví dụ cũng là điểm A), thì chúng ta có thể áp dụng quy tắc này.

Bước 3: Ví dụ minh họa và lý do áp dụng

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh \(\vec{BA} + \vec{BC} = \vec{BD}\).

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ \(\vec{BA}\) và \(\vec{BC}\) đều có chung điểm gốc là B.

Theo quy tắc hình bình hành (áp dụng cho gốc B và hình bình hành ABCD):

Nếu hai vectơ có chung gốc B là \(\vec{BA}\) và \(\vec{BC}\), thì vectơ tổng của chúng sẽ là đường chéo xuất phát từ B. Trong hình bình hành ABCD, đường chéo xuất phát từ B là \(\vec{BD}\).

Vậy, \[\vec{BA} + \vec{BC} = \vec{BD}\] (Điều phải chứng minh)

Lý do áp dụng: Khi hai vectơ có chung điểm đầu, quy tắc hình bình hành cung cấp một cách trực quan để tìm vectơ tổng của chúng, biểu diễn nó bằng đường chéo của hình bình hành tương ứng. Nó rất hữu ích trong các bài toán liên quan đến tổng hợp lực, vận tốc hoặc xác định vị trí.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}\).

Lời giải:

Để áp dụng quy tắc hình bình hành, chúng ta cần tạo ra một hình bình hành.

Từ điểm A, kẻ đường thẳng song song với BC và lấy điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. (Hoặc đơn giản hơn là dựng điểm D sao cho C là trung điểm của AD, nhưng cách này hơi ngược).

Cách thông thường: Kẻ đường thẳng qua C song song với AB, và đường thẳng qua B song song với AC. Gọi giao điểm là D. Khi đó ABDC là hình bình hành.

Với hình bình hành ABDC có chung gốc A, ta có: \[\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}\]

Do ABDC là hình bình hành nên AD là đường chéo. M là trung điểm của BC. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy, M cũng là trung điểm của AD (chú ý: đây là cách dùng trung điểm, không phải quy tắc hình bình hành trực tiếp mà là kết hợp tính chất hình bình hành với trung điểm).

Hoặc đơn giản hơn, theo định nghĩa của vectơ, \(\vec{AD}\) là vectơ có điểm đầu A và điểm cuối D. Vì M là trung điểm của AD (do M là trung điểm BC và ABDC là hình bình hành, đường chéo AD đi qua M và M là trung điểm của AD), nên \(\vec{AD} = 2\vec{AM}\).

Vậy, \[\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}\] (Đây là một công thức quan trọng – công thức trung điểm)

Lý do áp dụng: Quy tắc hình bình hành thường được dùng để biến đổi tổng hai vectơ chung gốc thành một vectơ duy nhất (đường chéo). Trong một số trường hợp, như ví dụ trên, chúng ta cần kẻ thêm đường hoặc dựng thêm điểm để tạo ra hình bình hành, từ đó áp dụng quy tắc. Điều này giúp chúng ta liên hệ các vectơ với các điểm đặc biệt khác như trung điểm.

Tóm tắt lại sự khác biệt chính:

• Quy tắc 3 điểm: Dùng khi điểm cuối của vectơ này trùng với điểm đầu của vectơ kia (\(\vec{A}\mathbf{B} + \mathbf{B}\vec{C} = \vec{AC}\)). Giúp “nối” các vectơ liên tiếp.
• Quy tắc hình bình hành: Dùng khi hai vectơ có chung điểm đầu (\(\vec{A}\vec{B} + \vec{A}\vec{D} = \vec{AC}\) với ABCD là hình bình hành). Giúp tổng hợp hai vectơ phát xuất từ cùng một điểm.

Hy vọng qua bài giảng này, các em đã nắm rõ hơn về hai quy tắc cơ bản này và biết cách vận dụng chúng một cách linh hoạt trong các bài toán về vectơ. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé!

Chúc các em học tốt!