Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất hay về căn bậc hai. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị của biểu thức \(x\sqrt{\frac{1}{x^2}}\) khi biết điều kiện \(x < 0\). Chúng ta hãy cùng phân tích từng bước nhé! Bước 1: Hiểu về căn bậc hai của một bình phương

Các em còn nhớ công thức tính căn bậc hai của một bình phương không nào? Đó là:
\[ \sqrt{a^2} = |a| \]
Điều này có nghĩa là căn bậc hai của một số bình phương luôn là giá trị tuyệt đối của số đó, và giá trị tuyệt đối thì luôn không âm.

Bước 2: Áp dụng công thức vào biểu thức đã cho

Biểu thức của chúng ta có chứa \(\sqrt{\frac{1}{x^2}}\). Chúng ta có thể viết \(\frac{1}{x^2}\) thành \(\left(\frac{1}{x}\right)^2\).
Vậy nên, \(\sqrt{\frac{1}{x^2}} = \sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)^2}\).

Áp dụng công thức ở Bước 1, ta có:
\[ \sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)^2} = \left|\frac{1}{x}\right| \]

Bước 3: Xét điều kiện x < 0

Đề bài cho chúng ta biết rằng \(x < 0\). Khi \(x\) là một số âm, thì \(\frac{1}{x}\) cũng sẽ là một số âm. Ví dụ: Nếu \(x = -2\), thì \(\frac{1}{x} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\), là một số âm. Bước 4: Tính giá trị tuyệt đối của \(\frac{1}{x}\)

Chúng ta biết rằng giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó.
Vì \(\frac{1}{x}\) là một số âm khi \(x < 0\), nên: \[ \left|\frac{1}{x}\right| = -\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x} \] Bước 5: Hoàn thành việc tính toán biểu thức ban đầu

Bây giờ, chúng ta thay kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu \(x\sqrt{\frac{1}{x^2}}\):
\[ x\sqrt{\frac{1}{x^2}} = x \cdot \left|\frac{1}{x}\right| \]
Và từ Bước 4, ta có:
\[ x \cdot \left|\frac{1}{x}\right| = x \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) \]
\[ x \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = – \left(x \cdot \frac{1}{x}\right) \]
\[ – \left(x \cdot \frac{1}{x}\right) = -1 \]

Kết luận

Vậy, khi \(x < 0\), \(x\sqrt{\frac{1}{x^2}}\) bằng -1.

Trong các phương án lựa chọn A, B, C, D thì phương án đúng là D.

Hy vọng cách giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!