Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử rất thú vị. Bài tập của chúng ta là: phân tích đa thức \(x³-2x²+2x-1\).

Chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, đảm bảo không vượt quá kiến thức đã học ở lớp 8 nhé.

Bước 1: Quan sát và nhận dạng đa thức

Đa thức của chúng ta có dạng: \(x³-2x²+2x-1\).
Chúng ta thấy đa thức này có 4 hạng tử. Thông thường, khi gặp đa thức có 4 hạng tử, chúng ta sẽ nghĩ đến các phương pháp như nhóm hạng tử, hoặc sử dụng các hằng đẳng thức.

Bước 2: Thử nhóm các hạng tử

Chúng ta thử nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau lại với nhau:
\( (x³ – 2x²) + (2x – 1) \)

Nhóm \(x²\) ra khỏi hai hạng tử đầu tiên:
\( x²(x – 2) + (2x – 1) \)

Ở đây, chúng ta chưa thấy xuất hiện nhân tử chung. Vậy cách nhóm này chưa hiệu quả.

Chúng ta thử một cách nhóm khác. Thường thì các số hạng tự do hoặc các số hạng có hệ số gần nhau sẽ là gợi ý tốt. Hãy thử nhóm hạng tử đầu với hạng tử cuối, và hai hạng tử ở giữa:
\( (x³ – 1) + (-2x² + 2x) \)

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức và rút nhân tử chung

Trong nhóm thứ nhất \( (x³ – 1) \), chúng ta nhận ra đây là dạng của hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \(a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)\).
Ở đây, \(a = x\) và \(b = 1\).
Vậy, \(x³ – 1 = (x – 1)(x² + x \cdot 1 + 1²) = (x – 1)(x² + x + 1)\).

Trong nhóm thứ hai \( (-2x² + 2x) \), chúng ta có thể rút nhân tử chung là \( -2x \).
\( -2x² + 2x = -2x(x – 1) \)

Bước 4: Thay thế vào biểu thức ban đầu và tìm nhân tử chung mới

Bây giờ, chúng ta thay thế hai biểu thức vừa phân tích vào đa thức ban đầu:
\( (x – 1)(x² + x + 1) – 2x(x – 1) \)

Quan sát biểu thức mới này, chúng ta thấy có một nhân tử chung xuất hiện ở cả hai vế, đó là \( (x – 1) \).

Bước 5: Đặt nhân tử chung ra ngoài

Chúng ta đặt \( (x – 1) \) làm nhân tử chung:
\( (x – 1) [(x² + x + 1) – 2x] \)

Bước 6: Rút gọn biểu thức trong ngoặc

Bây giờ, chúng ta rút gọn biểu thức bên trong dấu ngoặc vuông:
\( (x² + x + 1) – 2x = x² + x + 1 – 2x \)
Kết hợp các hạng tử đồng dạng: \( x² + (x – 2x) + 1 = x² – x + 1 \)

Bước 7: Kết luận kết quả cuối cùng

Vậy, đa thức \(x³-2x²+2x-1\) đã được phân tích thành nhân tử là:
\( (x – 1)(x² – x + 1) \)

Chúng ta kiểm tra lại xem \(x² – x + 1\) có thể phân tích tiếp được nữa không. Đối với đa thức bậc hai, chúng ta có thể xem xét biệt thức Delta hoặc nhẩm nghiệm. Tuy nhiên, ở chương trình lớp 8, chúng ta thường dừng lại ở đây nếu đa thức bậc hai không phân tích được thành nhân tử với các hệ số nguyên hoặc hữu tỉ đơn giản.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán. Các em về nhà xem lại các bước và thử làm thêm các bài tập tương tự nhé. Chúc các em học tốt!