Xin chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô.
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về giới hạn của một dãy số qua một ví dụ cụ thể.
Bài tập của chúng ta là tính giới hạn của dãy số có công thức số hạng tổng quát là \(u_n = \frac{1}{n}\) khi \(n\) tiến ra vô cùng.
Chúng ta sẽ ký hiệu điều này là:

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \]

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích ý nghĩa của giới hạn

Chúng ta cần xem xét xem giá trị của biểu thức \( \frac{1}{n} \) sẽ thay đổi như thế nào khi \(n\) ngày càng lớn.

Bước 2: Xét các giá trị cụ thể của \(n\)

Chúng ta có thể thử thay các giá trị lớn của \(n\) vào biểu thức \( \frac{1}{n} \):

• Khi \(n = 10\), \(u_{10} = \frac{1}{10} = 0.1\)
• Khi \(n = 100\), \(u_{100} = \frac{1}{100} = 0.01\)
• Khi \(n = 1000\), \(u_{1000} = \frac{1}{1000} = 0.001\)
• Khi \(n = 10000\), \(u_{10000} = \frac{1}{10000} = 0.0001\)

Từ các ví dụ trên, chúng ta có thể thấy rằng khi \(n\) càng lớn thì giá trị của \( \frac{1}{n} \) càng tiến gần đến 0.

Bước 3: Áp dụng định nghĩa hoặc quy tắc về giới hạn

Trong chương trình Toán lớp 11, chúng ta đã được học về giới hạn của dãy số. Một trong những giới hạn cơ bản và quan trọng là:

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0 \]

với \(k\) là một số nguyên dương bất kỳ.

Trong trường hợp bài toán của chúng ta, ta có \(u_n = \frac{1}{n}\), tức là \(k=1\). Đây là một trường hợp đặc biệt của công thức trên.

Bước 4: Kết luận

Dựa vào định nghĩa và quy tắc về giới hạn của dãy số mà chúng ta đã học, khi \(n\) tiến ra vô cùng dương (\(n \to +\infty\)), giá trị của \( \frac{1}{n} \) sẽ tiến về 0.

Vậy, ta có:

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \]

Đây là một kết quả rất quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài tập về giới hạn.
Chúc các em học tốt!