Lim x ->0 (1/x-1/x^2)
Bài tập của chúng ta hôm nay là tìm giới hạn của biểu thức sau khi x tiến về 0:
(1/x – 1/x^2)
Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé.
Bước 1: Phân tích biểu thức và nhận dạng dạng vô định.
Khi x tiến về 0, chúng ta có:
Số hạng thứ nhất: 1/x.
Nếu x tiến về 0 từ phía dương (x -> 0+), thì 1/x sẽ tiến về + vô cùng (+∞).
Nếu x tiến về 0 từ phía âm (x -> 0–), thì 1/x sẽ tiến về – vô cùng (-∞).
Do đó, 1/x khi x -> 0 không có giới hạn xác định, nó tiến về ±∞.
Số hạng thứ hai: 1/x2.
Khi x tiến về 0, x2 luôn luôn dương và tiến về 0. Do đó, 1/x2 sẽ tiến về + vô cùng (+∞).
Như vậy, khi x tiến về 0, biểu thức của chúng ta có dạng “±∞ – ∞”. Đây là một dạng vô định. Khi gặp dạng vô định này, chúng ta cần phải biến đổi biểu thức để có thể tính được giới hạn.
Bước 2: Biến đổi biểu thức bằng cách quy đồng mẫu số.
Để quy đồng mẫu số, chúng ta sẽ tìm mẫu số chung là x2.
Biểu thức ban đầu là: \( \frac{1}{x} – \frac{1}{x^2} \)
Quy đồng ta được: \( \frac{1 \cdot x}{x \cdot x} – \frac{1}{x^2} = \frac{x}{x^2} – \frac{1}{x^2} = \frac{x-1}{x^2} \)
Vậy, bài toán của chúng ta bây giờ trở thành tìm giới hạn của \( \frac{x-1}{x^2} \) khi x tiến về 0.
Bước 3: Xét giới hạn của tử số và mẫu số khi x tiến về 0.
Tử số: \( x-1 \)
Khi x tiến về 0, tử số \( x-1 \) sẽ tiến về \( 0-1 = -1 \).
Mẫu số: \( x^2 \)
Khi x tiến về 0, mẫu số \( x^2 \) sẽ tiến về \( 0^2 = 0 \). Tuy nhiên, vì x2 luôn dương với mọi x khác 0, nên mẫu số tiến về 0 từ phía dương (0+).
Bước 4: Tính giới hạn của phân thức.
Bây giờ chúng ta có giới hạn của phân thức dạng: \( \frac{-1}{0^+} \)
Khi tử số tiến về một số âm (-1) và mẫu số tiến về 0 từ phía dương (0+), giới hạn của phân thức sẽ là – vô cùng (-∞).
Vậy, ta có kết quả:
\( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x-1}{x^2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty \)
Kết luận:
Giới hạn của biểu thức \( \frac{1}{x} – \frac{1}{x^2} \) khi x tiến về 0 là -∞.
Các em thấy đó, bằng cách biến đổi khéo léo và phân tích cẩn thận từng bước, chúng ta đã giải quyết được bài toán này. Hãy nhớ rằng, khi gặp dạng vô định, việc biến đổi biểu thức là chìa khóa để tìm ra lời giải. Chúc các em học tốt!
Đáp án:
\(-\infty.\)
Giải thích các bước giải:
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{x^2}\right)\\ =\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{x-1}{x^2}\\ =-\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^2}\\ =-\infty\\ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} \left(\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{x^2}\right)\\ =\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{x-1}{x^2}\\ =-\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x^2}\\ =-\infty=\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{x^2}\right)\\ \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{x^2}\right)=-\infty.\)
Đáp án:
\(-\infty\)
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\lim_{x\to 0}\left(\dfrac 1x-\dfrac 1{x^2}\right)\\=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-x}{x^3}\\=\lim_{x\to 0}\dfrac{x(x-1)}{x^3}\\=\lim_{x\to 0}\dfrac{x-1}{x^2}\\=\dfrac{0-1}{0^2}=\dfrac{-1}0=-\infty\)