Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất hay và thường gặp về tổng các lũy thừa, đó là chứng tỏ biểu thức M chia hết cho 5. Đề bài đã cho chúng ta một gợi ý rất quan trọng, đó là nhân biểu thức M với 2. Chúng ta hãy cùng bắt tay vào làm nhé!

Đầu tiên, các em hãy nhớ lại biểu thức M của chúng ta:

\[ M = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{20} \]

Bước 1: Tính 2M (nhân M với 2)

Theo gợi ý của đề bài, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của biểu thức M với 2.

\[ 2M = 2 \times (2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{20}) \]

Khi nhân vào, các em nhớ lại quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \). Cụ thể ở đây, \( 2 \times 2^n = 2^1 \times 2^n = 2^{1+n} \).

Vậy, chúng ta sẽ được:

\[ 2M = 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{21} \]

Bước 2: Lấy 2M trừ đi M

Đây là một kỹ thuật rất quan trọng để rút gọn các tổng lũy thừa. Khi lấy 2M trừ đi M, chúng ta sẽ có:

\[ 2M – M = (2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{21}) – (2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{20}) \]

Các em hãy quan sát kỹ, rất nhiều số hạng giống nhau sẽ bị triệt tiêu đi:

\[ 2M – M = 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{20} + 2^{21} – 2 – 2^2 – 2^3 – \dots – 2^{20} \]

Các số hạng \( 2^2, 2^3, \dots, 2^{20} \) đều xuất hiện ở cả hai phần và sẽ bị trừ đi hết. Chỉ còn lại số hạng lớn nhất của 2M và số hạng nhỏ nhất của M.

Do đó, chúng ta có:

\[ M = 2^{21} – 2 \]

Bước 3: Chứng tỏ M chia hết cho 5

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem biểu thức \( M = 2^{21} – 2 \) có chia hết cho 5 hay không. Để một số chia hết cho 5, chữ số tận cùng của nó phải là 0 hoặc 5.

Chúng ta hãy cùng xem xét chữ số tận cùng của các lũy thừa của 2:

• \( 2^1 = 2 \) (chữ số tận cùng là 2)
• \( 2^2 = 4 \) (chữ số tận cùng là 4)
• \( 2^3 = 8 \) (chữ số tận cùng là 8)
• \( 2^4 = 16 \) (chữ số tận cùng là 6)
• \( 2^5 = 32 \) (chữ số tận cùng là 2)

Các em có thể thấy, chữ số tận cùng của các lũy thừa của 2 lặp lại theo chu kỳ 4 số: 2, 4, 8, 6.

Để tìm chữ số tận cùng của \( 2^{21} \), chúng ta sẽ lấy số mũ là 21 chia cho 4:

\( 21 \div 4 = 5 \) dư \( 1 \)

Vì số dư là 1, nên chữ số tận cùng của \( 2^{21} \) sẽ giống với chữ số tận cùng của \( 2^1 \), tức là 2.

Vậy, \( 2^{21} \) có chữ số tận cùng là 2.

Khi đó, biểu thức \( M = 2^{21} – 2 \) sẽ có chữ số tận cùng là:

Chữ số tận cùng của \( (2^{21} – 2) \) = (Chữ số tận cùng của \( 2^{21} \)) – (Chữ số tận cùng của 2)

= \( 2 – 2 = 0 \)

Vì M có chữ số tận cùng là 0, nên M chia hết cho 5.

Kết luận:

Vậy, biểu thức M chia hết cho 5.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách vận dụng gợi ý của đề bài cũng như cách tìm chữ số tận cùng của lũy thừa để giải quyết bài toán. Đây là một dạng bài rất hay, các em hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!